第一章行列式。
作业1 行列式的概念。
一、填空题。
1．列标为i3j12，则i和j必为4和5之一。若i=4、j=5，则τ(43512)=7，此项为负。答案为i=4、j=5。
2．1+2+…+n-1+n-1+…+1=n(n-1)。
4．在位于不同行不同列上的元素的乘积中，只有和两项会出现三个x的乘积，因此带x3的项为，则x3的系数为-1。
二、计算及证明题。
3*．分别考虑、…n-1在a1a2…an和an…a1a2中的逆序数。对1，从2开始考虑：若1和2在a1a2…an中是顺序，则它们在an…a1a2中一定是逆序，因此1和2在a1a2…an和an…a1a2**现一个逆序；类似地，1和3在a1a2…an和an…a1a2**现一个逆序，…，和1构成逆序的在a1a2…an和an…a1a2中共有n-1对；对2，从3开始考虑：
2和3在a1a2…an和an…a1a2**现一个逆序、2和4在a1a2…an和an…a1a2**现一个逆序和n在a1a2…an和an…a1a2**现一个逆序，共有n-2对；…；对n-1，n-1和n在a1a2…an和an…a1a2**现一个逆序。则。
(a1a2…an)+τan…a1a2)=n-1+n-2+…+1。
作业2 行列式的性质。
一、填空题。
2．根据根与系数的关系得x1+x2+x3=-p，x1x2+x1x2+x2x3=q，x1x2x3=0。
3．把第一行的-1倍加到第二行得。
二、计算题。
2*．因d中元素为1或-1，由行列式定义知，行列式共有n!项，此时每项为1或-1。设其中有r项为-1，则n!
-r项为1。因为n!为偶数，则d=(n!
-r)·1+r·(-1)= n!-2r为偶数。
作业3 行列式的展开法则。
一、填空题。
2．把行列式的第一行换为、-1得；
把行列式的第一行换为得。
3．按第一列展开： 。
二、计算题。
1．按第二行展开： 。
按第四列展开：
3．按第一列展开： 。
4．按第一列展开：
三、1*．按第一行展开：
作业4 行列式的计算。
一、计算题。
1．方法ⅰ：把第、…n列加到第1列，然后把第1行的-1倍加到其他行：
方法ⅱ：把第1行的-1倍加到其他行，然后把第、…n列加到第1列：
方法ⅲ：加边法：
2．方法ⅰ：递推法(按第一列展开)：则，
方法ⅱ：把第1列的倍加到第2列，然后把第2列的倍加到第3列，…，最后把第n列的倍加到第n+1列：
二、1． 的解：、。
2*．显然f(2)=f(3)=f(4)=0，而f(x)在[2,3]、[3,4]上连续，在(2,3)、(3,4)内可导，由rolle中值定理知，、使，即在(2,3)、(3,4)内分别有一个根。而f(x)是x的三次多项式，则是x的二次多项式，因此最多有两个根。总之有两个根。
3．方法ⅰ：把第1行的-1倍加到其他行，然后把第i列的倍加到第1列：
方法ⅱ：加边法：
方法ⅲ：拆项法：
第二章矩阵。
作业1 矩阵的运算。
一、填空题。
4．，则。
二、计算题。
3．记、，则。
5*．记，，则第一年市场份额为ab，第一年市场份额为。
作业2 方阵的逆矩阵。
一、填空题。
二、计算题。
作业3 分块矩阵。
一、填空题。
1．a、b同型且行、列的分块方式一致，a的列的分块方式与b的行的分块方式一致。
5．设，则，即。则有，。由a、b可逆，，，
因此。二、计算题。
2．记，，，则，。，3．记，。则，。。
4．记，。，
6*．记，。。由得。
作业4 矩阵的初等变换及用初等变换求逆阵。
一、填空题。
2．a可逆。
3．初等行。
二、计算题。
1．(1) (行阶梯型)
(行最简型)
(等价标准型)。
2) (行阶梯型)
(行最简型)
(等价标准型)。
作业5 用初等变换法求逆矩阵。
作业6 矩阵的秩。
一、填空题。
1．个二级子式，个**子式，r(a)=3，至少有一个**子式不为零。
2．若a中有一个k阶子式不为零，则r(a)≥k；若中所有k阶子式全为零，则r(a)3．r(a)≤min。若r(a)=m，a为行满秩矩阵；若r(a)=n，a为列满秩矩阵；若r(a)=m=n，a为满秩方阵。
一、计算题。
1．(1)由于a有一个二阶子式，因此r(a)=2。
2)由于a有一个二阶子式，所有的三阶子式，因此r(a)=2。
2．(1) ，则r(a)=4。
2) 则。r(a)=3。
第三章线性方程组。
作业1 cramer法则。
一、填空题。
1．齐次方程组仅有零解，则其系数行列式不为零，即，因此，。
2．根据cramer法则，选(a)。
3．因b≠0，则至少有一个列向量不为零，即方程组至少有一个非零解，则其系数行列式为零，即。因此，。
二、计算题。
1．，方程组有唯一解。，，方程组的解为，，。
2．cramer法则：，方程组有唯一解。，，方程组的解为，，。
矩阵方程：记，，，则，。
因此。即方程组的解为。
3．当系数行列式不为零时，方程组有唯一解。系数行列式，由系数行列式不为零得，。
作业2 解线性方程组的消元法。
得到的同解方程组为。令自由未知量、，则原方程的一般解为。
2． ，得到的同解方程组为。令自由未知量、，则原方程的一般解为。
得到的同解方程组为。令自由未知量，则原方程的一般解为。
当且即时，方程组无解。当且时，方程组有唯一解；继续初等行变换得，得原方程的解为。当时，方程组有唯一解；行最简形为，得到的同解方程组为。令自由未知量、，则原方程的一般解为。
作业3 n维向量及其运算。
一、填空题。
由， ，则。
二、计算题。
作业4 向量的线性相关性（一）
一、填空题。
1．若向量组向量的个数大于向量的维数，则向量组线性相关。四个三维向量构成的向量组一定线性相关。
2．设，则。又、、线性无关，因此。此方程组有非零解，因此线性相关。
3．、、线性相关。
二、计算、证明题。
1．设，即。
得到。因此。
2．设，即。
方程组无解。因此不能由、、线性表示。
3．设，即。
当时方程组有唯一解，可以由、、线性表示：。
4．由可以由、、…线性表示，则存在不全为零的、、…使。下证，用反证法，假设，则，即由可以由、、…线性表示，与已知矛盾，因此。由此可得，即由可以由、、…线性表示。
5*．设(*)则。即。
而时。因此，又，所以。代入(*)得，则。即。
因此，又，所以。…依次可以证明，由定义，线性无关。
作业5 向量的线性相关性（二）
一、填空题。
1．、、线性相关。
2．设，则。又、、线性无关，因此。只有零解，因此线性无关。
3．若向量组向量的个数大于向量的维数，则向量组线性相关。
二、计算、证明题。
1．设，即。，得到非零解，。、线性相关。
2．由。、、线性无关。
3．、、线性相关。
4．设(*)由可以由、、…线性表示，则存在不全为零的、、…使。代入(*)得。
即。下证，用反证法，假设，则，即可以由、、…线性表示，与已知相矛盾。因此，代入(*)得。又、、…线性无关，则，由定义，、、线性无关。
5*．把b按列分块：。设，则，即。又，则，即，。因此，而线性无关，则，由定义线性无关。
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