1正弦定理。
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，这个比值是三角形外接圆的直径2r.
1．在△abc中，一定成立的等式是( )
a．asin a＝bsin b b．acos a＝bcos b
c．asin b＝bsin a d．acos b＝bcos a
答案 c解析由正弦定理＝，得asin b＝bsin a，故选c.
2．在△abc中，已知∠a＝150°，a＝3，则其外接圆的半径r的值为( )
a．3 b.
c．2 d．不确定。
答案 a解析在△abc中，由正弦定理得＝＝6＝2r，∴r＝3.
3．在△abc中，sin a＝sin c，则△abc是( )
a．直角三角形 b．等腰三角形。
c．锐角三角形 d．钝角三角形。
答案 b解析由sin a＝sin c知a＝c，△abc为等腰三角形．
4．在△abc中，已知bc＝，sin c＝2sin a，则ab＝__
答案 2解析由正弦定理得：ab＝bc＝2bc＝2.
1．在△abc中，a＝5，b＝3，c＝120°，则sin a∶sin b的值是( )
a. b.
c. d.
答案 a解析根据正弦定理得＝＝.
2．在△abc中，a＝bsin a，则△abc一定是( )
a．锐角三角形 b．直角三角形。
c．钝角三角形 d．等腰三角形。
答案 b解析由题意有＝b＝，则sin b＝1，即角b为直角，故△abc是直角三角形．
3．在△abc中，若＝，则c的值为( )
a．30° b．45°
c．60° d．90°
答案 b解析 ∵＝又由正弦定理＝.
cos c＝sin c，即c＝45°，故选b.
4．在△abc中，若∠a＝105°，∠b＝45°，b＝2，则c等于( )
a．1 b．2
c. d.
答案 b解析 ∵∠a＝105°，∠b＝45°，∴c＝30°.
由正弦定理得c＝＝＝2.
5．在△abc中，a＝15，b＝10，a＝60°，则cos b等于( )
a．－ b.
c．－ d.
答案 d解析由正弦定理得＝，sin b＝＝＝
a>b，a＝60°，∴b为锐角．
cos b＝＝＝
1．正弦定理的常见变形：
1)sin a∶sin b∶sin c＝a∶b∶c；
2)＝＝2r；
3)a＝2rsin a，b＝2rsin b，c＝2rsin c；
4)sin a＝，sin b＝，sin c＝.
2．三角变换公式。
1)sin(α＋sin αcos β＋cos αsin β；
2)sin(α－sin αcos β－cos αsin β；
3)sin 2α＝2sin αcos α.
1．在△abc中，ac＝，bc＝2，b＝60°，则角c的值为( )
a．45b．30°
c．75° d．90°
答案 c解析由正弦定理得＝，∴sin a＝.
bc＝2∴a＝45°.∴c＝75°.
3．在△abc中，a＝2bcos c，则这个三角形一定是( )
a．等腰三角形 b．直角三角形。
c．等腰直角三角形 d．等腰或直角三角形。
答案 a解析由正弦定理：sin a＝2sin bcos c，sin(b＋c)＝2sin bcos c，sin bcos c＋cos bsin c＝2sin bcos c，sin(b－c)＝0，∴b＝c，故选a.
5．在△abc中，若b＝1，c＝，c＝，则a
答案 1解析由正弦定理，有＝，sin b＝.
c为钝角，∴b必为锐角，∴b＝，a＝.∴a＝b＝1.
6．在△abc中，a＝60°，a＝4，b＝4，则b＝ .
答案 45°
解析由正弦定理＝，得sin b＝，a>b，∴a>b.
b只有一解．∴b＝45°.
3余弦定理。
1．余弦定理。
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
即a2＝b2＋c2－2bccos a，b2＝c2＋a2－2cacos_b，c2＝a2＋b2－2abcos_c.
2．余弦定理的推论。
cos a＝；cos b＝；cos c＝.
2．在△abc中，a＝7，b＝4，c＝，则△abc的最小角为( )
a. b.
c. d.
答案 b解析 ∵a>b>c，∴c为最小角，由余弦定理cos c＝
＝.∴c＝.
1．在△abc中，已知a＝2，则bcos c＋ccos b等于( )
a．1 b.
c．2 d．4
答案 c解析 bcos c＋ccos b＝b·＋c·＝＝a＝2.
2．在△abc中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos b等于( )
a. b.
c. d.
答案 b解析 ∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，cos b＝＝＝
3．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
a．90° b．120°
c．135° d．150°
答案 b解析设中间角为θ，则cos θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．
4．在△abc中，若(a2＋c2－b2)tan b＝ac，则角b的值为( )
a. b.
c.或 d.或。
答案 d解析 ∵(a2＋c2－b2)tan b＝ac，·tan b＝，即cos b·tan b＝sin b＝.
05．在△abc中，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则a
答案 120°
解析 a2－c2＝b2＋bc，b2＋c2－a2＝－bc，cos a＝－，a＝120°.
4三角形面积公式的推广。
s＝absin c＝bcsin a＝casin b.
abc中，ab＝，ac＝1，b＝30°，求△abc的面积．
解由正弦定理得＝，∴sin c＝.
0°①当c＝60°时，a＝90°，∴bc＝2，此时，s△abc＝；
当c＝120°时，a＝30°，s△abc＝××1×sin 30°＝.
在△abc中，已知a＝3，cos c＝，s△abc＝4，则b
答案 2解析 ∵cos c＝，∴sin c＝，absin c＝4，∴b＝2.
2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )
a．40 b．20
c．40 d．20
答案 a解析设另两边长为8x,5x，则cos 60°＝，解得x＝2.
两边长是16与10，三角形的面积是×16×10×sin 60°＝40.
3．在△abc中，已知面积s＝(a2＋b2－c2)，则角c的度数为( )
a．135° b．45° c．60° d．120°
答案 b解析 ∵s＝(a2＋b2－c2)＝absin c，a2＋b2－c2＝2absin c，∴c2＝a2＋b2－2absin c.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos c，sin c＝cos c，∴c＝45°.
4．已知三角形的三边为a，b，c面积s＝a2－(b－c)2，则cos a
答案 解析 s＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc
－2bccos a＋2bc，s＝bcsin a，∴ bcsin a＝2bc－2bccos a.
即4－4cos a＝sin a.
平方得：17cos2a－32cos a＋15＝0.
即(17cos a－15)(cos a－1)＝0.
得cos a＝1(舍)或cos a＝.
5．在△abc中，b＝120°，ac＝7，ab＝5，则△abc的面积为___
答案 解析在△abc中，由余弦定理知ac2＝ab2＋bc2－2ab·bc·cos b，即49＝bc2＋25－2×bc×5×(－整理得bc2＋5bc－24＝0，解得bc＝3或bc＝－8(舍去)．
s△abc＝·ab·bc·sin 120°＝×5×3×＝.
6．在△abc中，若a＝120°，ab＝5，bc＝7，求△abc的面积．
解由正弦定理，得＝，sin c＝，且c为锐角(∠a＝120°)．
cos c＝.
sin b＝sin(180°－120°－c)＝sin(60°－c)
cos c－sin c＝×－
s△abc＝ab·bc·sin b＝×5×7×＝.
等差数列的通项公式。
若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.
等差中项的概念。
若三个数a，a，b构成等差数列，则a叫做a与b的等差中项，并且a＝.
2．已知等差数列中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
a．15 b．22
c．7 d．29
答案 a解析设的首项为a1，公差为d，根据题意得。
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(8)＝15.
6．一个等差数列的前三项为：a,2a－1,3－a.则这个数列的通项公式为___
答案 an＝n＋1
解析 ∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝.
这个等差数列的前三项依次为，，.
d＝，an＝＋(n－1)×＝1.
7．若是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
解设的公差为d.
由题意知解得。
所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
等差数列的项与序号的关系。
1)等差数列通项公式的推广：在等差数列中，已知a1，d, am, an(m≠n)，则d＝＝，从而有an＝am＋(n－m)d.
2)项的运算性质：在等差数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈n*)，则am＋an＝ap＋aq.
1．等差数列中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( )
a．3 b．－6 c．4 d．－3
答案 b解析由等差数列的性质，得a8－a3＝(8－3)d＝5d，所以d＝＝－6.
2．在等差数列中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于( )
a．32 b．－32 c．35 d．－35
答案 c解析由a8－a4＝(8－4)d＝4d，得d＝3，所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.
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