高考数学考点分析

一、关于集合与简易逻辑的考点。

这部分内容主要是考察集合的概念，集合元素的无序性、互异性和确定性，集合符号的使用，集合的几种表示法，集合的交并补的运算。这部分内容往往是以选择题的形式出现，约占5分。如：

例1：（2007全国ⅰ）设，集合，则（ c ）

a．1bc．2d．

本题主要考查了集合的相等的概念，以及元素的互异性，同时还考察了分步讨论的方法。有时出这种题时增加了不等式的解法。也有的题在集合描述时给出一元二次不等式或是分式不等式。

因此考生也要重视不等式的解法，特别是分式不等式的解法易错。如：集合，就是一道很简单而又易错的分式不等式。

简易逻辑和四种命题的关系，主要考查的是充分、必要条件的判定。这方面的题有时是与空间几何的命题、不等式的命题结合出现的。

例2：（2023年朝阳模拟）已知m是平面外的一条直线，直线n，那么是的（）

a 充分不必要条件 b 必要不充分条件。

c 充要条件 d 既不充分也不必要条件上。

还要注意四种例题的关系，会根据原命题写出其他几种例题：

例3：(2007山东)命题“对任意的”的否定是（c ）

a.不存在 b.存在。

c.存在 d. 对任意的。

二、关于函数部分：

函数部分是高中数学的重点考查内容，这方法的考点基本上是选择题或是填空题一道，这部分内容配之以极限和导数内容，出一道解答题，共约占18分左右。

函数内容在选择题中考查的一般是函数的定义域、值域、反函数、单调性、奇偶性、周期性等。

例4：（06年北京理）已知是上的减函数，那么 a 的取值范围是

a）（0，1）（b）（0，） c）（d）

这个题主要考查了分段表示的函数，基本初等函数的性质（一次函数、对数函数）的单调性，同时配合考查了不等式的解法。因此考生要很好的注意分段函数表示，以及分段函数求反函数、求函数值的方法。另外在求反函数时，要特别注意函数与反函数的定义域和值域互换的问题。

关于函数的表示法方面，不但要注意图象法、公式法，还要注意**法表示的函数关系。2023年北京高考题中就有一道**法表示的函数关系。有些同学就吃了些亏。

在解答题方面，函数部分的题主要是利用导数求切线方程、求单调区间、求最大值、极值等。理科的考生要注意复合函数求导，指数函数、对数函数的导数公式。这方面的题有时是逆向思维的。

例4：（2007北京东城区二模）已知函数的图象与直线相切，切点为（1，－11），（1）求a,b的值（2）求函数的单调递减区间。

考生们在学校平时主要练习求某个函数在某点处的切线方程，而对于这种已知切线方程逆向求a,b的值不太熟悉。所以考生要注意正向或逆向两种情况。都要练习。

有时出用函数的极值和导数进行逆向求解。

例5（2006北京理）（本小题共13分）

已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示。求：

ⅰ）的值；ⅱ）的值。

关于函数的应用题也是值得注意的。2023年北京理科卷中就出一道关于函数的应用题：

例6 (2007北京理19 本小题共13分）

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为

）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；

）求面积的最大值

三、关于数列。

按高考的要求主要考查的是等差数列和等比数列，要特别注意这两种典型数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，还要掌握运用两种数列的定义判定数列的方法。数列也是高中数学重点考查的内容，一般是一道小题一道解答题，约占18分左右。这里要特别注意不能用个别代表一般。

在证明某个数列是等差或是等比数列时，一定要用后项减前项或后项比前项是否等于常数来判定，而不能只用个别项代值计算。在求时也要注意用递推公式求（累乘法、叠加法、递归法等）。在这里要注意公式的使用。

例7：（2007北京理10）若数列的前项和，则此数列的通项公式为数列中数值最小的项是第项。

本题主要是给出前n项和的公式，要求求通项公式，就要用上述公式求出，还要注意检验。2023年在北京的高考题中还出现了利用递推公式求通项的题目。

例8：（2007北京理15 本小题共13分）数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列

）求的值；）求的通项公式

此题第一问中主要是利用等比数列的有关知识求出c=2,，然后再利用叠加法求出通项公式。而后计算通项公式时还要用到等到差数列的前n项和的公式，考察的比较全面。

在数列的解答题中，有时叙述的比较多，有些考生一读那么多限制就头痛，于是就放弃了，其实要是硬着头皮读下去，多读几次认真分析一下，还是会有结果的。

在数列的解答题中，还有一种不等式的证明很值得注意，因为一般考题中都要涉及到它。

例9 在数列中，,是其前n项和，且，（1）求和；（2）求证：

在第2问证明中，考生会碰到这样的式子：。在这种式子的证明中，需要放缩法的应用，，然后再用裂项相消法，算出前n项和。

四、三角函数部分。

三角函数、平面向量、解三角形部分的考查是高考数学中一个重要考点。这部分内容一般是一至两道选择或填空题，一道解答题，约占20分左右。

三角函数方面主要是同角三角函数关系式、诱导公式、和差倍角公式的应用，特别要注意倍角公式的变形：，对这个公式要会多向变形。这几年对三角函数公式的考查降低难度，主要是用倍角公式。

还要辅助角公式的变形（也叫提斜变形）：即。

。这种变化成了必考之点了。

例10 （2007北京海淀一模）已知函数，（1）求函数的最小正周期（2）当时，求函数的最大值和最小值。

这题中主要用了倍角公式和辅助角公式变形，然后求出最小正周期。在求最值时，要注意x的限定条件，这种限定往往是在这个区间上的两个端点处有一个不是最值，因此解这个问题时，可以辅助以图象就更直观些了。

在解答题有时是一道与解三角形正余弦定理有关的题。

例 10 （2006北京文）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是。

2006北京文）在△abc中， a， b， c所对的边长分别为a,b,c.若sina:sinb:sinc=5∶7∶8,则a∶b∶cb的大小是。

这两个题都是三角函数，平面向量、解三角形的题。考生在复习时也要很注意正余弦定理的应用，特别是利用正余弦定理边角互相转换的证明题。

在这部分中还有三角函数图象的考查，主要是正弦波函数图像的平移、解析式的求法等。

例11（2007陕西理17）设函数，其中向量，，，且的图象经过点．

ⅰ）求实数的值；

ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合．

这是一道函数、三角函数和平面向量结合的题。难度不大，但是考察的很全面。

五、不等式部分。

这部分内容通常不单独考查，而是和数列、函数等题目综合考查。有时是解答题的第三问。这部分主要是算术平均数大于几何平均数的应用。

在这里特别注意：“积定和最小，和定积最大”的应用。在不等式的证明中注意作差（商）、判号，还要注意放缩法的运用（见数列）。

2023年北京高考卷中就出了一道关于不等式的小题：

例12 （（2007北京理科7）如果正数满足，那么（ a ）

．，且等号成立时的取值唯一。

．，且等号成立时的取值不唯一。

有时不等式的考题专门针对“一正二定三相等”的限定条件。如：

例13：有下列函数：①y=x+；②y=－2；③y=；④y=sin2x－cos2x，其中最小值为2的函数有 .(注：把你认为正确的序号都填上)

这道题就是考查不等式中“一正二定三相等”的限定条件的。其中正确的只有（2），（1）不符合“正”，（3）不符合“相等”，（4）最小值-2。

六、直线和圆的方程部分。

这部分内容一般不出现在解答题，而是在选择题或填空题中与向量综合出现。当然直线的五种方程形式，直线与直线、直线与圆的位置关系，特别是切线的求法，重点是点斜式直线方程要熟记会用。在圆的方程上要会从圆的一般方程变成圆的标准方程，从中找出圆心坐标和半径。

有些题要画出准确一点的草图，更有利于解题。在这部分中，要会熟练地运用两点间距离公式、定比分点公式、点到直线的距离公式等。

例14 （2005全国北京）从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（）

a b 2 c 3 d 4

这题考查了圆的一般方程到标准方程的变形、弧长公式及图形结合的解题方法。有些解析几何问题要靠画准确一点的草图来解，更有助于考生的思路，有时可以把问题简化。

例15 （2023年全国湖北）已知直线与圆相切，则的值为

这题可以用常规的方法，用判别式为“0”的方法，求出a的值，通过画草图，估计出解的可能性。

在直线和圆的方程部分还有线性规划的题，一般都是占5分的题。不过此种题必考。要充分注意。

线性规划是最优化问题，出题的形式主要是目标函数不同，最常见求：的最大值或最小值，也有的最值的，还有求区域面积，或区域图形变化参数的。例如2023年北京高考题中就出了一道求区域图形参数的题：

例15：（2023年北京6 ）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（）

或。七、圆锥曲线部分：

这部分内容是高考的重点，在这部分中一般是一道选择或填空，一道较难的解答题，约占20分左右。

这部分的主要内容是椭圆的标准方程、长轴、短轴和焦距的关系，离心率、准线方程；双曲线的标准方程，实轴、虚轴、焦距的关系，离心率、渐近线方程、准线方程；抛物线主要是标准方程，焦准距p等。对于圆锥曲线的统一定义要有个认识，并且会用来解题。

高考中有时出的选择题是直接用定义就可以解的。

例14：（2023年北京某区二模）过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于两点，则以为圆心为直径的圆方程是。

这道题主要是利用抛物线的定义，直接可以算出圆的半径，从而完成圆的方程。

在完成圆锥曲线的解答题时，要特别注意应用二次方程的根与系数的关系，恰当地设交点的坐标，利用韦达定理，直接得到关于某些参数的方程，设而不解，列而不解。特别是弦的中点等用这种方法的居多。

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