数列综合题两题。
1.等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列， ，且 ．
（1）求与；
（2）求数列的前项和。
3）若对任意正整数和任意恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，
依题意有，即，解得或者（舍去），故5分。
两式相减得。
所以10分。
14分。问题等价于的最小值大于或等于，即，即，解得16分。
说明：本题是一道数列与不等式的一道综合题，重点考查如何根据将数列问题化归为基本量求解，或根据数列性质简化运算；差比数列的求和是数列中的重点和难点，学生在运算中很容易出错，所以要加强这方面的训练。数列与不等式的综合是本题的一大亮点，加强知识的综合在高三二轮复习中显得尤其重要。
2、已知数列的前n项和为，点在直线上．数列满足：，且，前9项和为153．
1）求数列，的通项公式；
2）设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；
3）设*，问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)点(n，)在直线y＝x＋上，∴＝n＋，即sn＝n2＋n，an＝n＋5．
bn+2－2bn+1＋bn＝0(nn*)，bn+2－bn+1＝ bn+1－bn＝…＝b2－b1．
数列是等差数列，∵b3＝11，它的前9项和为153，设公差为d，则b1＋2d＝11，9b1＋×d＝153，解得b1＝5，d＝3．∴bn＝3n＋2．
2)由(1)得，cn＝＝＝tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(11－)．
tn＝(1－)在nn*上是单调递增的，∴tn的最小值为t1＝．
不等式tn＞对一切nn*都成立，∴＜k＜19．∴最大正整数k的值为18．
(3) nn*，f(n)＝＝
当m为奇数时，m＋15为偶数；当m为偶数时，m＋15为奇数．
若f(m＋15)＝5f(m)成立，则有3（m＋15）＋2＝5(m＋5)(m为奇数)
或m＋15＋5＝5（3m＋2）(m为偶数)． 解得m＝11．所以当m＝11时，f(m＋15)＝5f(m)．
说明：本题为综合题，主要考查数列中的常见问题，如已知求，裂项求和等知识与方法，分类讨论、恒成立的问题在本题中得到了应用。
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