专题四解析几何。
第一讲直线与圆。
一、选择题。
1．已知直线l1的方向向量a＝(1,3)，直线l2的方向向量b＝(－1，k)．若直线l2经过点。
0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为。
a．x＋3y－5＝0b．x＋3y－15＝0
c．x－3y＋5＝0d．x－3y＋15＝0
解析：∵l1⊥l2，∴a·b＝0.
－1＋3k＝0，∴k＝，∴b＝.
l2方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.
答案：b2．若直线＋＝1通过点m(cos α，sin α)则。
a．a2＋b2≤1b．a2＋b2≥1
c.＋≤1d.＋≥1
解析：直线＋＝1通过点m(cos α，sin α)我们知道点m在单位圆上，此问题可。
转化为直线＋＝1和圆x2＋y2＝1有公共点，圆心坐标为(0,0)，由点到直线的距离。
公式有≤1＋≥1，故选d.
答案：d3．(2010·福建)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 (
a．x2＋y2＋2x＝0b．x2＋y2＋x＝0
c．x2＋y2－x＝0d．x2＋y2－2x＝0
解析：∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴满足题意的圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，整。
理得x2＋y2－2x＝0，故选d.
答案：d4．(2010·江西)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于m，n两点，若|mn|≥2，则k的取值范围是。
ab.∪[0，＋∞
cd. 解析：圆心(3,2)到直线的距离d＝，则|mn|＝2
2≥2，解得－≤k≤0，故选a.
答案：a5．(2010·湖北)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是( )
a．[1－2，1＋2b．[1－，3]
c．[－1,1＋2d．[1－2，3]
解析：y＝3－变形为(x－2)2＋(y－3)2＝4(0≤x≤4，1≤y≤3)，表示以(2,3)
为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．
若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，只需直线y＝x＋b在图中两直线之。
间(包括图中两条直线)，y＝x＋b与下半圆相切时，圆心到直线y＝x＋b的距离为2，即＝2，解得b＝1－2或b＝1＋2 (舍去)，∴b的取值范围为1－2
b≤3.故选d.
答案：d二、填空题。
6．(2009·全国ⅰ)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段。
的长为2，则m的倾斜角可以是：
其中正确答案的序号是写出所有正确答案的序号)．
解析：两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0之间的距离为＝，又动直线l1与l2
所截的线段长为2，故动直线与两线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．
答案：①⑤7．(2009·四川理)若⊙o：x2＋y2＝5与⊙o1：(x－m)2＋y2＝20(m∈r)相交于a、b两点，且两圆在点a处的切线互相垂直，则线段ab的长度是___
解析：如图所示，在rt△oao1中，oa＝，o1a＝2，∴oo1＝5，ac＝＝2，ab＝4.
答案：48．(2010·课标全国)过点a(4,1)的圆c与直线x－y－1＝0相切于点b(2,1)，则圆c的方。
程为___解析：由已知kab＝0，所以ab的中垂线方程为x＝3.①
过b点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为。
y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②
联立①②解得。
所以圆心坐标为(3,0)，半径r＝＝
所以圆c的方程为(x－3)2＋y2＝2.
答案：(x－3)2＋y2＝2
9．(2010·山东)已知圆c过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆c
所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为。
解析：设圆心a(x0,0)，x0>0，r＝|ac|＝x0－1，|bc|＝，由直线l方程可知∠bca
45°，所以r＝2，x0＝3，∵l⊥ab，∴kab＝－1，ab方程为y＝－1(x－3)，即x＋y
答案：x＋y－3＝0
三、解答题。
10．已知m∈r，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆c：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.
1)求直线l斜率的取值范围；
2)直线l能否将圆c分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
解：(1)直线l的方程可化为y＝x－，直线l的斜率k＝，因为|m|≤(m2＋1)，所以|k|＝≤当且仅当|m|＝1时等号成立．
所以，斜率k的取值范围为。
2)不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤.
圆c的圆心为c(4，－2)，半径r＝2.圆心c到直线l的距离d＝.
由|k|≤，得d≥>1，即d>.从而，若l与圆c相交，则圆c截直线l所得的弦。
所对的圆心角小于。
所以l不能将圆c分割成弧长的比值为的两段圆弧．
11．已知圆c：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆c截得。
弦为ab，以ab为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说。
明理由．解：设直线l的方程为y＝x＋b，代入圆的方程。
x2＋(x＋b)2－2x＋4(x＋b)－4＝0.
即2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0.(*
以ab为直径的圆过原点o，则oa⊥ob.
设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0.
2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0.
由(*)式得x1＋x2＝－b－1，x1x2＝
b2＋4b－4＋b·(－b－1)＋b2＝0.
即b2＋3b－4＝0，∴b＝－4或b＝1.
将b＝－4或b＝1代入*方程，对应的δ>0.
故存在直线l：x－y－4＝0或x－y＋1＝0.
12．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆c：(x－3)2＋(y＋6)2＝25.
1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆c总相交；
2)求直线l被圆c截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．
1)证明：设圆心c到直线l的距离为d，则有[
d＝整理可得4(d2－1)m2＋12m＋d2－9＝0①
为使上面关于m的方程有实数解，δ＝122－16(d2－1)(d2－9)≥0，解得0≤d≤.
可得d<5，故不论m为何实数值，直线l与圆c总相交．
2)解：由(1)可知0≤d≤，即d的最大值为。
根据平面几何知识可知：当圆心到直线l的距离最大时，直线l被圆c截得的线段。
长度最短．当d＝时，线段(即弦长)的最短长度为。
将d＝代入①可得m＝－，代入直线l的方程得直线被圆c截得最**段时l
的方程为x＋3y＋5＝0.
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