数列综合练习题。
一、 选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分。
1、数列的一个通项公式是。
a. b．c． d．
2、若两数的等差中项为6，等比中项为10，则以这两数为根的一元二次方程是（ ）
ab、cd、
3、已知-9,a1,a2,-1四个实数成等差数列，-9,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数，则b2(a2-a1)=（a.8b.-8 c.±8d.
4、已知数列是等比数列，若则数列的前30项的和。
） a、， b、， c、， d、，
5、已知等比数列的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 (
a ．15. b．17c．19d ．21
6、已知等差数列的前n项和为，若。
a）18 （b）36 （c）54 （d）72
7、已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则。
|m－na．1 b． c． d．
8、等差数列中，a1+a2+…+a50＝200，a51+a52+…+a100＝2700，则a1等于( )
a．－1221 b．－21．5c．－20．5d．－20
9、设 是由正数组成的等比数列， 且公比q = 2, 如果a 1 · a 2 · a 3 · a 30 = 230, 那么a 3 · a 6 · a 9 · a 30
a．210b．215c．220d．216.
10、某人从2023年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若年利率保持不变，到2023年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数为。
a 、 b 、 c 、 d 、
二、 填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。
11、已知数列的通项公式，则其中三位数的个数有___个。
12、设等差数列的前n项和为，若，则的值是___
13、已知数列的前项和公式为那么此数列的通项公式为。
14、在各项均为正数的等比数列中，若=9，则。
三、解答题：本大题共7小题，共84分。
15、（本小题满分10分）已知等差数列中，公差为且，求的值。
16、（本小题满分14分）
在等比数列中，若求首项和公比。
设等比数列，是它的前项和，若求公比。
17、三个数成等比数列，其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数列，求这三个数。 （10分）
18、已知数列是等差数列，且。
（ⅰ）求数列的通项公式；（4分）
（ⅱ）令求数列前n项和的公式。（6分）
19、（本小题满分12分）某家用电器的生产厂家根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每件2000元**的一种产品进行调价，并按新单价的八折优惠销售，结果每件产品仍可获得实际销售价20%的利润。已知该产品每件的成本是原销售单价的60%。
i）求调整后这种产品的新单价是每件多少元？让利后的实际销售价是每件多少元？
ⅱ）为使今年按新单价让利销售后的利润总额不低于20万元，今年至少应销售这种产品多少件？
每件产品利润=每件产品的实际售价-每件产品的成本价）
20、设数列满足：
1) 求证数列是等比数列(要指出首项与公比),
2)求数列的通项公式14分）
参***。一：选择题。
二：填空题。
三：解答题。
15、解法一：，是等差数列。
所以 ，又， ，
所以： 解法二：由，，亦即。
所以： 16、解：⑴是等比数列，则根据已知有：
联立①②两式可解得：
当时，是常数列，则根据得。
因为是等比数列，
故。当时，，解得。
17、解：设三数为或。
则三数为或，18、（ⅰ解：设数列公差为，则又。
所以。ⅱ）解：由得。
将①式减去②式，得
所以。19、（i）解：设每件产品的新单价是x元。
由已知，该产品的成本是2000×60%=1200（元1分。
由题意：x·80%-1200=20%·80%·x4分。
解得x=1875（元6分。
80%·x=1500（元8分。
所以，该产品调价后的新单价是每件1875元，让利后的实际销售价是每件1500元9分。
ⅱ）解：设全年至少应销售这种电子产品m件。则由题意，m（1500-1200）≥200000，解得。
m∈n ∴m最小值应为667（件）。
所以全年至少售出667件，才能使利润总额不低于20万元。……14分。
20、解：(1) 又，数列是首项为4,公比为2的等比数列。
令叠加得，数列求和。
一、利用常用求和公式求和。
1、等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：
[例1] 已知，求的前n项和。
解：由。由等比数列求和公式得： =1－
[例2] 设sn＝1+2+3+…+n，n∈n*,求的最大值。
解：由等差数列求和公式得。
∴＝＝当，即n＝8时，
二、错位相减法求和。
种这方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中、分别是等差数列和等比数列。
例3] 求和。
解：由题可知，{}的通项是等差数列的通项与等比数列{}的通项之积：设…②（设制错位）
－②得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。∴
例4] 求数列前n项的和。解：由题可知，{}的通项是等差数列的通项与等比数列{}的通项之积。
设。………得∴
三、倒序相加法求和。
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个。
[例6] 求的值。
解：设………
将①式右边反序得又因为，①+得 ： 89 ∴ s＝44.5
四、分组法求和。
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
例7] 求数列的前n项和：，…
解：设。将其每一项拆开再重新组合得（分组）
当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝
例8] 求数列的前n项和。
解：设∴ ＝
将其每一项拆开再重新组合得： sn
项。五、裂项法求和。
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）如：（1） （2）
例9] 求数列的前n项和。
解：设，则。
例11] 求证：
解：设。原等式成立。
六、合并法求和。
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求sn.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+·cos178°+ cos179°的值。
解：设sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+·cos178°+ cos179找特殊性质项）
sn＝ （cos1°+ cos179°）+cos2°+ cos178°）+cos3°+ cos177°）+cos89°+ cos91°）+cos90°＝ 0 （合并求和。
例14] 在各项均为正数的等比数列中，若的值。
解：设。由等比数列的性质和对数的运算性质得：
七、利用数列的通项求和。
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法。
[例15] 求之和。解：由于。
例16] 已知数列：的值。解。
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