2023年数学竞赛模拟训练试题（10）详细解答。
一、填空题：共64分，每小题8分．
1．的整数部分和小数部分分别记为p，q，则q（p+q
2．在矩形abcd中，ab=4, ad=3，沿对角线ac将△adc折起，使d在面abc上的射影落在直线ab上，此时二面角b-ac-d的大小为___
3．已知双曲线c:的右焦点为 f, p是第一象限内c上的点，q为双曲线左准线上的点．若op垂直平分fq，则双曲线的离心率e的取值范围是___
4．若对于任意的实数，函数的值都是非负实数，则实数的最大值为___
5．记t=｛0, l, 2, 3, 4, 5, 6},，将m中的元素按从大到小排列，则第2011个数为___
6．已知，则的最小值为___
7．已知为正整数，且，则=__
8．设函数．对于所有的实数的最小值为___
二、解答题：共56分，第9题16分，第题各20分．
9．已知数列｛｝满足．求证：．
10．已知椭圆c的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆c上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．若直线与椭圆c相交于a, b两点（a, b不是左右顶点），且以ab为直径的圆过椭圆c的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
11．已知函数，设函数的图象c1与函数的图象c2交于点p、q，过线段pq的中点作x轴的垂线分别交c1, c2于点m、n．证明：c1在点m处的切线与c2在点n处的切线不平行．
参***。1．1．记，于是．且（），故。 而，故，因此，的整数部分即为．小数部分即为．因此q（p+q)=．
2．．如图1，过d'作d' h面abc于h，由题设知h在ab上，故d'h=bc.
又abbc，且d'h, ba面abd'，所以有bc面abd',bcbd'．
又cd' =4, bc=3，故bd'=．
故ad'bd'，故．
故(为二面角b-gd-d'的大小）.
于是=． 3.. 由op垂直平分fq知|of|=|oq|=，设。
故，所以有， 于是fq的中点为m．
故直线pq的斜率，故，即．
4. 1 . 由，得．
所以，即．于是．
另一方面，当时，结论明显成立．
5．．将m中的元素与七进制整数（）一一对应，，于是从大到小排列的第2011个数即为从小到大的第391个数．考虑390的七进制表示为（1065）7，则第2011个数为．
6．．设，则．于是，又， ，
当时取得．7．198．由已知得，即．所以．
又，所以，即，故。
即为单位圆上一点到三个点的距离之和．
直线ab的方程为．
计算易得b点o到直线ab的距离，即直线ab与单位圆相切于点。
此时还有，而o,q0,c共线．
故．9.由，结合归纳原理易知．
令，则，于是，即，故，即．
故．又时，有，故。
10. 解：（i）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为
ⅱ）设，联立得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，即， ，
解得：，，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点
所以，直线过定点，定点坐标为
11．（2023年湖南卷）解：（i），则。
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解。
又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解。
当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根。此时，－1 综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞
（ii）证法一设点p、q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0 则点m、n的横坐标为。
c1在点m处的切线斜率为。
c2在点n处的切线斜率为。
假设c1在点m处的切线与c2在点n处的切线平行，则k1=k2.
即，则。所以设则①
令则。因为时，，所以在）上单调递增。 故。
则。 这与①矛盾，假设不成立。
故c1在点m处的切线与c2在点n处的切线不平行。
证法二：同证法一得。
因为，所以。
令，得 ②令。
因为，所以时，
故在[1，+上单调递增。从而，即。
于是在[1，+上单调递增。
故即这与②矛盾，假设不成立。
故c1在点m处的切线与c2在点n处的切线不平行。
2023年数学竞赛模拟训练试题 5
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2023年数学竞赛模拟训练试题 4
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