正态分布专题训练。
知识点回顾:
1)正态分布概念:若连续型随机变量的概率密度函数为。
其中为常数,且,则称服从正态分布,简记为~。
的图象称为正态曲线。
2)、正态分布的期望与方差。
若~,则。3)、正态曲线的性质:
曲线在x轴的上方,与x轴不相交.
曲线关于直线x=μ对称.
曲线在x=μ时位于最高点.
当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐进线,向它无限靠近.
当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.
4)、在标准正态分布表中相应于的值是指总体取值小于的概率即。
时,则的值可在标准正态分布表中查到。
时,可利用其图象的对称性获得来求出,5)两个重要公式。
6)、与的关系:
若~,则~,有。
若~,则。二)习题+答案。
一、选择题。
某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为,则下列命题不正确的是 ( b )
a.该市这次考试的数学平均成绩为80分;
b.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同;
c.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同;
d.该市这次考试的数学成绩标准差为10.
设随机变量服从标准正态分布,若,则(d)
a. b. c. d.
设随机变量,且,则c等于( d )
设的概率密度函数为,则下列结论错误的是( c )
ab) c) 的渐近线是 (d) ~
设随机变量服从正态分布,记,则下列结论不正确的是( d )
ab. c. d.
解】,∴a正确,b显然正确.,c正确.
d为不正确.
设随机变量,且,则=( b )
如果随机变量,,那么( c )
已知随机变量服从正态分布,,则( a )
abcd,
设随机变量服从正态分布,若,则c = b )
a.1b.2c.3d.4
已知随机变量服从正态分布n(3,a2),则p(=(d )
(abcd)
如果随机变量ξ~n(μ,2),且eξ=3,dξ=1,那么p(2<ξ≤4)等于 ( b )
其中n(μ,2)在(μ-内的取值概率为0.683;在(μ-2σ,μ2σ)内的取值概率为0.954;在(μ-3σ,μ3σ)内的取值概率为0.997
a.0.5 b.0.683 c.0.954 d.0.997
若φ(3)=0.9987,则标准正态总体在区间(-3,3)内取值的概率为b)
a .0.9987 b.0.9974 c.0.944 d. 0.8413
下图是正态分布n∽(0,1)的正态分布曲线图,下面4个式子中,能表示图中阴影部分面积的有( c )个。
a)1 (b)2c)3d)4
某学校在一次数学基础测试统计中,所有学生成绩服从正态分布(单位:分),现任选一名学生,该生成绩在分到104分内的概率是( d )
a. b. c. d.
2、设随机变量服从正态分布n(0,1),p(ξ>1)=p,则p(-1<ξ<1)= c )
a. p b.1-pc.1-2p d.-p
设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。则有( a )
a. b.
c. d.
设随机变量ξ服从正态分布n(μ,2)(δ0),若p(ξ<0)+p(ξ<1)=1,则μ的值为 ( d )
a.-1b.1cd.
07安徽卷,10)以表示标准正态总体在区间内取值的概率,若随机变量服从正态分布,则概率等于( b )
a. b. c. d.
解析:考查与的关系:
若~,则。解:
答案为b或。
07全国卷ⅱ,14):在某项测量中,测量结果服从正态分布。若在内取值的概率为0.4,则ξ在内取值的概率为。
解法一:∵~
解法二:因为曲线的对称轴是直线,所以由图知在内取值的概率为0.8
07湖南卷,5)设随机变量服从标准正态分布。
已知,则( c )
a. 0.025 b. 0.050 c. 0.950 d. 0.975
解法一。解法二:因为曲线的对称轴是直线,所以由图知。
1-0.25-0.25=0.950 故答案为:c
07浙江卷,5)已知随机变量服从标准正态分布,
则( a )
a. 0.16 b. 0.32 c. 0.68 d. 0.84
解法一:∵
解法二:因为曲线的对称轴是直线,所以由图知=1-=0.16,二、填空题。
设随机变量ξ服从正态分布n(0,1),记φ(x)=p(ξ 0)=0.5;②φx)=1-φ(x);③p (|2)=2φ(2)-1。
则正确结论的序号是。
设随机变量~,则~
正态总体的概率密度函数为,则。
设随机变量,且,则=__0.2___
设随机变量,求的概率密度函数 (答案: )
三、解答题。
重要例题:分别求正态总体在 ,内取值的概率。
解:所以, 在内取值的概率为:
在内取值的概率为:
在内取值的概率为:
06湖北)在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名。
ⅰ)、试问此次参赛学生总数约为多少人?
ⅱ)、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生,试问设奖的分数线约为多少分?
可共查阅的(部分)标准正态分布表。
解:(ⅰ设参赛学生的分数为,因为~n(70,100),由条件知,p(≥90)=1-p(<90)=1-f(90)=1-=1-(2)=1-0.9772=0.228.
这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%,因此,参赛总人数约为≈526(人)。
ⅱ)假定设奖的分数线为x分,则。
p(≥x)=1-p(即=0.9049,查表得≈1.31,解得x=83.1.
故设奖的分数线约为83.1分。
利用标准正态分布表,求标准正态总体在下面范围内取值的概率.
解: (1)p(x<2) =2) =0.9772
(2)p(x<-1) =1) =1-φ[1)] 1-φ(1) =1-0.8413 = 0.1587
(3)p(-1已知正态总体, (1)求取值小于3的概率; (2)求取值的绝对值不大于3的概率。
解(1)2) p(|x|≤3)=p(-3≤x≤3)=f(3)-f(-3) =2f(3)-1=0.6826
备注:概率的取值与端点的取舍无关。
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