工程数学答案。
1.1计算下列各式:
2)、(a-bi)3
解(a-bi)3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3
a3-3ab2+i(b3-3a2b) ;
解==1.2、证明下列关于共轭复数的运算性质:
证()-i()
证 =即左边=右边,得证。
3)=(z2≠0)证 ==
1.4、将直线方程ax+by+c=0 (a2+b2≠0)写成复数形式[提示:记x+iy=z]
z+a+b=0,其中a=a+ib,b=2c(实数) 。
解由x=,y=代入直线方程,得。
c=0, az+-bi()+2c=0,a- ib)z+( a+ib)+2c=0,故z+a+b=0,其中a=a+ib,b=2c
1.5、将圆周方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0 (a≠0)写成复数形式(即用z与来表示,其中z=x+iy)
解:x=,y=,x2+y2=z代入圆周方程,得。
az+()d=0,2az+(b-ic)z+(b+ic)+2d=0
故az++b+c=0,其中a=2a,c=2d均为实数,b=b+ic 。
1.6求下列复数的模与辅角主值:
1)、=2,解
arg()=arctan= 。
1.8将下列各复数写成三角表示式:
2)、i;解 =1,arg()=arctan()=a
故i=+i 。
1.10、解方程:z3+1=0
解方程z3+1=0,即z3=-1,它的解是z=,由开方公式计算得。
z==+i,k=0,1,2
即z0==+i,z1==1,z2=+ i=i 。
1.11指出下列不等式所确定的区域,并指明它是有界的还是无界的?是单连通区域还是多连通区域?
解圆环、有界、多连域。
3)、<arg z<;
解圆环的一部分、单连域、有界。
5)、re z2<1;
解 x2-y2<1无界、单连域。
解从原点出发的两条半射线所成的区域、无界、单连域;
2.2下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析?
1)f(z)=z2;
解 f(z)=z2=·z·z=·z=( x2+y2)(x+iy)=x(x2+y2)+ iy(x2+y2),这里u(x,y)=x( x2+y2),v(x,y)= y( x2+y2)。
ux= x2+y2+2 x2,vy= x2+y2+2 y2,uy=2xy,vx=2xy 。
要ux= vy,uy =-vx,当且仅当x=y=0,而ux, vy,uy ,vx均连续,故f(z)=·z2仅在z=0可导;z≠0不可导;复平面上处处不解析;
2)、f(z)= x2+ iy2;
解这里u= x2,v= y2, ux=2x, uy=0, vx=0, vy=2y,四个偏导数均连续,但ux= vy,uy= -vx仅在x=y处成立,故f(z)仅在x=y上可导,其余点均不可导,复平面上处处不解析;
2.3确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数:
解 f(z)=是有理函数,除去分母为0的点外处处解析,故全平面除去点z=1及z=-1的区域为f(z)的解析区域,奇点为z=±1,f(z)的导数为:f’(z)=)则可推出==0,即u=c(常数)。故f(z)必为d中常数。
2.9由下列条件求解析函数f(z)=u+iv
1)、u=(x-y)(x2+4xy+y2);
解因==3+6xy-3 ,所有v=dy
+3x-+(x),又=6xy+3+’(x),而=3-3,所以’(x)=-3,则(x)=-c。
故f(z)=u+iv=(x-y)(+4xy+)+i(-+c)
= (1-i)(x+iy)-(1-i) (x+iy)-2(1+i)-2x(1-i)+ci
=z(1-i)()2xyi·iz(1-i)+ci=(1-i)z(-2xyi)+ci
=(1-i)z3+ci
3)、u=2(x-1)y,f(0)=-i;
解因=2y,=2(x-1),由f(z)的解析性,有==2(x-1),v=dx=+(y),又==2y,而=’(y),所以’(y)=2y,(y)=+c,则v=++c,故f(z)=2y+i(++c),由f(2)=i得f(2)=i(1+c)=,推出c=0。即f(z)=2y+i()=i(+2z) =i(1z)2
4)、u=(x),f(0)=0;
解因=(x)+,x),由f(z)的解析性,有==,x)+。则v(x,y)=dx+dy+c
=+dy+c
xdy-dy+dy)+c
+cx-+c,故f(z)=-i()+ic。由f(0)=0知c=0
即f(z)=(x)+ i()=zez 。
2.13试解方程:
1)、=1+i
解 =1+i=2(+i)=2
解由题设知=-1,z=k-,k为整数 。
2.14求下列各式的值:
解 ==
=27(-i)。
第三章。3.1、计算机积分dz积分路径为(1)自原点至1+i的直线段;(2)自原点沿实轴至1,再由1沿直线向上至1+i;(3)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至1+i。
解(1)dz=dt=i(1+i)=;
注:直线段的参数方程为z=(1+i)t,0≤t≤1 。
2)c1:y=0,dy=o,dz=dx, c2:x=1,dx=o,dz=idy,dz=+
dx+idy=+i;
3) :x=0,dz=idy; :y=1,dz=dx。
dz=+dy+dx=
3.2、计算积分dz的值,其中c为 (1)=2;(2)=4。
解令z=r,则dz==2i 。
当r=2时,为4i;当r=4时,为8i 。
3.6、计算dz,其中c为圆周=2;
解 f(z)==在=2内有两个奇点z=0,1,分别作以0,1为中心的圆周c1, c2, c1与 c2不相交,则dz=dz-dz=2i-2i=0
3.8计算下列积分值:
1)、 dz;
解 dz =πi0=1- ;
3)、dz;
解 dz=(3+) 0i =3= 3。
3.10计算下列积分:
1)、dz;
解 dz =2i=2i
2)、dz;
解dz =2(2)=4i
4)、(r≠1);
解为0;r>1时n=1为2i,n≠1为0 。
3.11、计算i=其中c是(1)=1;(2)=1;(3)=;4)=3。
解(1)被积函数在≤1内仅有一个奇点z=,故i=dz
2 ()i;
2)被积函数在≤1内仅有一个奇点z=2,故i=dz=2 ()i;
3)被积函数在≤内处处解析,故i=0;
4)、被积函数在≤3内有两个奇点z= ,z=2由复合闭路原理,知i= +dz +dz= =i,其中c1为=1,c2为=1。
3.13计算下列积分:
2)、dz;
解 dz=2()’2·=0
3)、dz,其中:=2,:=3。
解 dz=dz+dz
第四章。4.2下列级数是否收敛?是否绝对收敛?
解(1)因=发散。故发散。
(2)=收敛;故绝对收敛。
4.4试确定下列幂级数的收敛半径:
解 (1)= 1,故r=1。
2)==e,故r=
4.5将下列各函数展开为z的幂级数,并指出其收敛区域:
1)、;3)、;5)、sin2z;
解 (1)==原点到所有奇点的距离最小值为1,故<1 。
(5)sin2z==,
4.7求下列函数在指定点z0处的泰勒展示:
1)、,z0=1;(2)、,z0=1;解(11
4.8将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数:
解 (1)0<<1时,=(1-)=当1<<+时,0<<1,=(1+)=1+)
4)0<<+时,=
4.9将=在z=1处展开为洛朗级数。
解 f(z)==f(z)的奇点为z1=1,z2=2。
f(z) 在0<<1与>1解析。当0<<1时。
f(z)==
当>1时0<<1,f(z)==
第五章。5.3、下列各函数有哪些奇点?各属何类型(如是极点,指出它的阶数):
解 (1)令f(z)=,z=0,±2i为f(z)的奇点,因=,所以z=0为简单极点,又==,所以z=2i为二阶极点,同理z=亦为二阶极点。
(2)因==1,所以z=0为二阶极点。
(3)令f(z)==则的零点为z=k-,k=0,±1,±2,…因()’
==0,所以都为简单极点 。
4)令f(z)=,则的零点为z=, k=0,±1,±2,…。因=(z++…1++…z=0为的三阶零点,故f(z)的三阶极点。又)’=2z()+0,故z=为的一阶零点,即为f(z)的简单极点。
(5)令f(z)=,z=0为其孤立奇点。因==1,所以z=0为可去奇点。
(6)令f(z)=-z=0和()为其孤立奇点。因===所以z=0为可去奇点,又==(所以z= (k=0,±1,±2,…)为的一阶零点,即为f(z)的简单极点。
5.5、如果与g(z)是以z0为零点的两个不恒为零的解析函数,则=(或两端均为)。[提示:将写成的形式,再讨论。]
证设为的m阶零点,为g(z)的n阶零点,则=,在0,m≥1,g(z)=,在0,n≥1。因而。
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