第2模块第3节。
知能演练]一、选择题。
1．函数y＝－x2(x∈r)是。
a．左减右增的偶函数 b．左增右减的偶函数。
c．减函数、奇函数d．增函数、奇函数。
解析：∵y＝－x2是开口向下的一条抛物线，y＝－x2在(－∞0)上为增函数，(0，＋∞上为减函数，不妨设y＝f(x)＝－x2，则f(－x)＝－x)2＝－x2＝f(x)，f(x)为偶函数．
答案：b2．已知函数f(x)在r上是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在r上的解析式是。
a．f(x)＝x·(x－2)
b．f(x)＝|x|(x－2)
c．f(x)＝|x|(|x|－2)
d．f(x)＝x(|x|－2)
答案：d3．f(x)、g(x)都是定义在r上的奇函数，且f(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若f(a)＝b，则f(－a)等于。
a．－b＋4b．－b＋2
c．b－2d．b＋2
解析：依题设f(－x)＝3f(－x)＋5g(－x)＋2＝
3f(x)－5g(x)＋2，f(x)＋f(－x)＝4，则f(a)＋f(－a)＝4，f(－a)＝4－f(a)＝4－b.
答案：a4．定义在r上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，t是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－t，t]上的根的个数记为n，则n可能为。
a．0b．1
c．3d．5
解析：定义在r上的函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，又f(x)是周期函数，t是它的一个正周期，f(t)＝f(－t)＝0，f(－)f()＝f(－＋t)＝f()．
f(－)f()＝0，则n可能为5，选d.
答案：d二、填空题。
5．设函数f(x)＝为奇函数，则a
解析：∵f(1)＋f(－1)＝02(1＋a)＋0＝0，a＝－1.
答案：－16．已知函数f(x)＝x2－cosx，对于[－，上的任意x1，x2，有如下条件：
x1>x2；②x>x；③|x1|>x2.
其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是___
解析：函数f(x)＝x2－cosx显然是偶函数，其导数y′＝2x＋sinx在0答案：②
三、解答题。
7．已知f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
1)求实数p，q的值；
2)判断函数f(x)在(－∞1)上的单调性，并加以证明．
解：(1)∵f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x)，即＝－.
从而q＝0，因此f(x)＝.
又∵f(2)＝，p＝2.
2)f(x)＝，任取x1则f(x1)－f(x2)＝－
x1∴x2－x1>0,1－x1x2<0，x1x2>0.
f(x1)－f(x2)<0.
f(x)在(－∞1)上是单调增函数．
8．已知定义在r上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.
1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；
2)证明f(x)在(0,1)上是减函数．
1)解：只需求出f(x)在x∈(－1,0)和x＝±1，x＝0时的解析式即可，因此，要注意应用奇偶性和周期性，当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．
f(x)是奇函数，f(x)＝－f(－x)＝－由f(0)＝f(－0)＝－f(0)，且f(1)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝－f(1)，得f(0)＝f(1)＝f(－1)＝0.
在区间[－1,1]上有。
f(x)＝2)证明：当x∈(0,1)时，f(x)＝.
设0f(x1)－f(x2)＝－
0∴2x2－2x1>0,2x1＋x2－1>0.
f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故f(x)在(0,1)上单调递减．
高考·模拟·**]
1．已知函数f(x)是(－∞上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2008)＋f(2009)的值为。
a．－2b．－1
c．1d．2
解析：f(－2008)＋f(2009)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1.
答案：c2．已知函数f(x)是定义在实数集r上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)·f(x)，则f()的值是。
a．0b.
c．1d.
解析：令g(x)＝，则g(－x)＝＝g(x)，∴g(x)为奇函数．又g(x＋1)＝＝g(x)．∴g()＝g()＝g(－)g()，g()＝0，∴f()＝0.故选a.
答案：a3．已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则。
a．f(－25)b．f(80)c．f(11)d．f(－25)解析：∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝f(x)．∴f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)＝0.而f(x)在[0,2]上是增函数，∴f(1)≥f(0)＝0.
∴f(－25)答案：d
4．函数f(x)的定义域为r，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则( )
a．f(x)是偶函数。
b．f(x)是奇函数。
c．f(x)＝f(x＋2)
d．f(x＋3)是奇函数。
解析：由题意f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝
f(x－1)，即f(x)＝－f(2－x)且f(x)＝－f(－2－x)．∴f(x)＝－f(2－x)＝f[－2－(2－x)]＝f(x－4)，f(－x＋3)＝f(－x－1)＝－f[2－(－x－1)]＝f(x＋3)，故选d.
答案：d5．定义在r上的增函数y＝f(x)对任意x，y∈r都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
1)求f(0)；
2)求证：f(x)为奇函数；
3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈r恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.
2)令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有。
0＝f(x)＋f(－x)．即f(－x)＝－f(x)对任意x∈r成立，所以f(x)是奇函数．
3)证法一：因为f(x)在r上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数．
f(k·3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，所以k·3x<－3x＋9x＋2，32x－(1＋k)·3x＋2>0对任意x∈r成立．
令t＝3x>0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2>0对任意t>0恒成立．
令f(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其对称轴为x＝，当<0即k<－1时，f(0)＝2>0，符合题意；
当≥0即k≥－1时，对任意t>0，f(t)>0恒成立。
解得－1≤k<－1＋2.
综上所述，当k<－1＋2时，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈r恒成立．
解法二：由k·3x<－3x＋9x＋2，得k<3x＋－1.
u＝3x＋－1≥2－1，即u的最小值为2－1，要使对x∈r不等式k<3x＋－1恒成立，只要使k<2－1.
所以满足题意的k的取值范围是(－∞2－1)
备选精题]6．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈r)．
1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞上为增函数，求a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－0)∪(0，＋∞f(－x)＝(x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝
2a≠0.f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
2)解法一：要使函数f(x)在x∈[2，＋∞上为增函数，等价于f′(x)≥0在x∈[2，＋∞上恒成立，即f′(x)＝2x－≥0在x∈[2，＋∞上恒成立，故a≤2x3在x∈[2，＋∞上恒成立．
a≤(2x3)min＝16.
a的取值范围是(－∞16]．
解法二：设2≤x1f(x1)－f(x2)＝x＋－x－
[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞上为增函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立，x1－x2<0，即a又∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.
a的取值范围是(－∞16]．
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