central south university
课程：高等工程数学。
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学号： 目录。
1、非线性方程求根2
2、线性方程组的数值解法3
3、回归分析5
4、估计与检验7
5、插值于拟合算法8
6、方差分析与正交试验设计9
一、非线性方程求根。
1、问题描述。
2023年3月份某居民买房，面积86平方米，总房款36万，首付10.8万，剩余房款按揭，期限30年，每月还款1436元，问该居民向银行贷款的年利率是多少？
2、建立模型。
假设在还贷期间，货币价值稳定，还贷月利率不变，贷款总额x0，贷款期限为n个月，采取逐月等额方式偿还本息。若xk为第k个月的欠款数，a为月还贷，r为月利率。
3，算法选择。
牛顿法。4、计算流程与matlab程序。
由模型得到迭代关系式：
那么。得到月还款计算公式
由，由以上a的求解公式得到。
我们令。则问题就转化成非线性方程求根的问题令，求出r。
牛顿迭代函数的程序：
function x=newton(fname,dfname,x0,e)
if nargin<4,e=1e-4;
endx=x0;x0=x+2*e;
while abs(x0-x)>e
x0=x;x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);
end常识上，r应比当时活期存款月利率略高一些，我们用当时的活期存款月利率0.0198/2作为迭代初值，我们对f(r)稍作变形：
clear;
fun=inline(‘25.2*(1+r)^360/0.1436-((1+r)^360-1)/r’,’r’)
fun=inline function:
fun(r)=25.2*(1+r)^360/0.1436-((1+r)^360-1)/r
dfun=inline(‘25.2*360*(1+r)^359/0.1436-(360*(1+r)^359*r-((1+r)^360-1))/r^2)’)
r=newton(fun,dfun,0.0198/2,1e-4);
r=12*r
然后求得结果：r=
于是得出年利率5.53%。
2、线性方程组的数值解法。
1、问题描述。
在我国的某个地区有一个煤矿、一个发电厂和一条铁路。市场调查发现，煤开采价值为1元钱的煤矿资源需要0.25元电费，同时将开采的煤运到目的地需要0.
25元的铁路运费；发电厂创造1元钱的电力资源需要价值0.65元的煤，同时还需要0.05元的电费和0.
05元的运费；铁路运输获得1元钱的运费，铁路需要价值0.55元的煤资和。01元的电费。
市场调查发现，煤矿上有价值85000元的订货单，发电厂有价值36800元的订货单对于本条铁路线没有要求。请分析在这一周内煤矿、发电厂以及铁路产值各多少才能满足订单的需求以及本地区的需求。
2、建立模型。
不妨假定本周内煤矿的总产值为x1，发电厂的总产值为x2,铁路的总产值为x3。那么根据“市场调查发现，煤矿上有价值85000元的订货单，发电厂有价值36800元的订货单对于本条铁路线没有要求”可以列出如下的线性方程组：
将上式变形即可得到。
3、算法选择。
直接法（高斯消去法）
4、计算流程与matlabc程序。
系数矩阵a解方程组。
得x1=167406.8, x2=87658.1, x3=46234.6
matlab程序。
高斯消去法本题中，输入a=[1 0 0;-0.65 -1 0;-0.55 1.1 0.62875 ];
function x=delgauss(a,bb=[85000 -36800 29070];
n,m]=size(ax=delgauss(a,b)
nb=length(b即可得到结果。
x=zeros(n,1);
for k=1:n-1
for i=k+1:n
if a(k,k)= 0
return
endm=a(i,k)/a(k,k);
for j=k+1:n
a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j);
endb(i)=b(i)-m*b(k);
end det=det*a(k,k);
enddet=det*a(n,n);
for k=n-1:1
for j=k+1:n
b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j);
endx(k)=b(k)/a(k,k);
end3、回归分析。
1、问题描述。
北京地区2023年至2023年用电量如下表。
用电量与年份的关系。
2、建立模型。
从图中看出呈直线关系。设直线模型为： yt=a+bt
其中yt是因变量，代表第t年北京地区的年用电量，t是自变量，从2023年开始编号，即t=1，以此类推。a，b是待计算参数。
3、算法选择。
一元线性回归。
4、计算流程及matlab程序。
该直线为 yt=0.497t + 4.16
模型检验：采用t检验法，原假设h0：b=0，若h0被拒绝，说明y与t之间显著存**性关系。拒绝域； 取显著性水平。
查表求得。从而得到，故拒绝h0，即y与t之间显著地存**性关系。
采用直线拟合，在matlab中输入程序：
x=1:1:5
y=[4.6761,5.1318,5.7054,6.1157,6.6701]
a=polyfit(x,y,1)
z=polyval(a,x)
polt(x,y,’k*’,x,z,’b’)
即可求得a,b。
4、估计与检验。
1、问题描述。
根据长期资料的积累，某维尼龙厂生产的纤度服从正态分布，它的方差为0.0482。某日随机地抽取5根纤维测得其纤度为1.
32，1.55,1.36,1.
40,1.44，问该日生产的维尼龙纤度的方差有没有显著变化（）？
2、建立模型。
该问题只出现了一个正态总体，且方差是已知的，所以我们采取的统计量为卡方分布。
3、算法选择。
假设检验。4、计算流程及matlab程序。
假设 采用卡方分布，对于α=0.1，n=5,其拒绝域为。
查表得 由，从而样本观测值落入拒绝域中，拒绝，接受，即该日生产的维尼龙纤度的方差发生了显著地变化。
matlab程序：
function [h,sig] =x2test2(x,sigma,alpha,tail)
n =length(x);xbar =mean(x);
m,v] =chi2stat(n-1);
xx =(n-1)*v/sigma^2;
if tail = 0
x1 = chi2inv(1-alpha/2,n-1);x2 = chi2inv(alpha/2,n-1);
sig = 2*(1-normcdf(abs(xx)))
if xx>=x1&xx h = 0;
elseh =1;
endend
利用上面的函数，输入命令：
x = 1.32,1.55,1.36,1.40,1.44];
p,sig] =x2test2(x,0.048,0.1,0)
得到运行结果：p = 1; sig = 0.
因此认为该日生产的维尼龙纤度与往日的方差0.0482有显著差异。
5、插值与拟合算法。
1、问题描述。
在公路建设过程中，需要大量水泥。据估计，某地修道路用水泥情况如下，请问修2.3km道路需多少水泥。
2、建立模型。
把“长度”作为x轴，水泥量为y轴，可得到一系列散点：（1,2）、（2,4）、（3,6）（4,8）、（5,10），我们可以用插值法来求x=2.3时y的值。
3、算法选择。
拉格朗日插值多项式。
4、计算流程与matlab程序。
由于2.3在2与之间，故取节点，相应的有，于是，有线性插值公式可得。
用线性求值求得。
functions = larange(x,y,x0)
nx = length(x);
ny = length(y);
if nx ~=ny
waming
return;
endm = length (x0);
for i = 1:m
t = 0.0;
for j = 1:nx
u = 1.0;
for k = 1: nx
if k~= j
u =j * x0(i)-x(k))/x(j)-(k));
end end
s(i) =t;
endreturn
利用上面的函数，进行lagrange插值运算。
x = 1, 2, 3, 4, 5];
y = 2, 4, 6, 8, 10];
lagrnge (x, y, 2.3)
求得4.6000
6、方差分析与正交试验设计。
1、问题描述。
一位教师想要检查3种不同的教学方法的效果，为此随机选取水平相当地15位学生。把他们分成3组，每组5人，每一组用一种方法教学，一段时间以后，这位教师给15位同学进行统考，成绩见下表。问这3种教学方法的效果有没有显著差异。
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