第二章数理统计的基本概念。
1、总体、样本及统计量。
1）总体x是指研究对象的全体，是一个随机变量）含有未知参数。
2）从总体x中随机抽取一个子样x1，x2……xn（样本容量为n），满足：与x具有相同分布，且x1，x2……xn相互独立，称x1，x2……xn是x的一个简单随机样本．
3） 常用的统计量（不含任何未知参数的样本函数）
°样本均值。
算术平均值）
若，由辛钦大数定理可近似代替总体均值，又由样本相互独立且与总体同分布。
° 样本方差：
°也称为样本方差，, 是的有偏估计，但是一个渐近无偏估计，而， 是的无偏估计。
2、 四个重要分布。
1）正态分布：
为密度函数，图形关于为对称，若，则，称为标准正态分布，为它的密度函数，且有： 密度函数为偶函数，概率积分），其分布函数：
可查表求其值：如，又若一般正态分布，则，为标准差，以上过程称为标准化，当，对，可查表求zα，及，如，则（查标准正态分布表中的0.975），又如，则（查表中的0.95）
以及。例1：某地区电压是一个，，可分为三种状态，小于200，介于200~240之间，高于240，电子设备在三种状态下故障的概率分别为.2，求。
1）设备出故障的概率。
解：假设表设备出故障， (i=1，2，3)分别表示三种状态，由全概率公式：
2）若设备已出故障，分别求在三种状态下出现的概率．
解：由贝叶斯公式：
同理。2） χ2-分布：(卡方分布)
设总体是样本，则。
即个相互独立的标准正态分布的平方和服从自由度为的卡方分布．
其中。为伽玛函数，若为正整数，利用分部积分法可推出，又由，令，两边微分有，即 ，递推关系式：，3°若，，且、相互独立，χ2-分布具有可加性，证明： 由、相互独立。
证毕。4°若，证明：由，5°可查表求其值，对0<α<1，χ2~χ2(n)，有，取α=0.05，n=8，查表，及，3） 分布；
1°结构：若，且相互独立，则，即服从自由度为的分布，2°若，则的密度函数为，为一偶函数。
可以证明，即分布的近似分布为标准正态分布，3°可查表求其值如图，对0<α<1，t~t(n)，若取α=0.05，n=8，查表，1） —分布：
若，且相互独立，则。
1°，分别是第。
一、第二自由度，2°，3°可查表求其值，如图。
对0<α<1，如α=0.05，n1=8，n2=17查表，及，3、 七个常用的抽样分布定理。
设，是样本，样本均值和样本方差分别为：
1） 由，由正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，可用于总体方差已知，对总体的均值作区间估计和假设检验。（称之为统计推断）
2） 由，则有，可用于总体的均值已知，对总体方差作区间估计和假设检验。
3） ，可用于总体的均值未知，对总体方差作统计推断。由。又。
4） 由， 又，且与相互独立，则，可用于总体方差未知，用样本方差代替对总体均值作统计推断。
5） 又设，相互独立，分别取自于的样本，由，则，可用于两个独立正态总体的方差、已知，对总体均值差作统计推断。
6） 若、未知，但，由，且，则，其中，、、分别是的样本均值和样本方差，可用于两个独立正态分布，方差未知但相等，对总体均值差作统计推断。
7） 由，可用于两个独立正态总体的方差比作统计推断。
例1、设是样本，若χ2＝，求．
解：因，即，或，1） 同理，例2、，…为样本，求的分布．
解：（1）， 2）又，且与相互独立，3）。
例3、，求的分布．
解： （1） ，则，其中，2） ，独立，3） ，例4、设总体，、…是样本容量为2n的一个简单随机样本，，，求e(y)．
解：构造一个样本列：是取自于的容量为的一个样本，其样本均值为，样本方差。
则有：。例5、设是总体的简单随机样本，记。
1）证明是的无偏估计量，（2）当时，求。
1）证： 所以是的无偏估计量，2）解：当时，总体，由，又由，有，当时，因与相互独立，第三章参数估计。
参数估计是统计推断中最基本也是最重要的问题之一，在许多实际问题中，利用总体的样本对已知总体分布的未知参数作出估计的问题称为参数估计。一般主要有两类估计，一类是点估计，另一类是参数的区间估计。
1、参数的点估计法：
矩估计法，设总体已知，参数未知，是的一个简单随机样本。由辛钦大数定理，统计量样本k阶矩依概率1收敛于，若仅有一个未知参数，求并令，解出即为的矩估计量；若有二个未知参数，则求并令及并令，解方程组得及即为的矩估计量。
极大或最大似然估计法，设总体已知，参数未知，是的一个简单随机样本。为使含参数的样本出现的可能性达到最大，由样本的独立性及与总体同分布，联合密度函数等于边缘密度函数的乘积，则有：，称为的样本似然函数，将的样本似然函数取对数，对求导数或偏导数并令其为零，得驻点，解出，得：
即为的最大似然估计量；或得及即为的最大似然估计量。
无偏估计，若，则称是的一个无偏估计量。
例1、设总体的分布函数为其中，1），求的矩估计量及最大似然估计量，（2），求的最大似然估计量。
解：（1），，则。
令，得为的矩估计量。
又当时，得为的最大似然估计量。
（2）当时，当时，没有驻点，取为的最大似然估计量。
例2、 设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零为来自总体的简单随机样本。 （1）求的矩估计量；
2）求的最大似然估计量。
解析：（1），令，得到矩估计量：。
得到最大似然估计量：。
例3、设随机变量ｘ与ｙ相互独立且分别服从正态分布与，其中未知参数，记。
1）求的概率密度，2）设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量，3）证明该估计量为的无偏估计量。
解：（1）因ｘ与ｙ相互独立，所以服从正态分布，故得ｚ的概率密度为： =2）设为样本的观测值，则似然函数为：，令：，解得：
故的最大似然估计量为。
3）由，所以是的无偏估计量。
例4、设总体的密度函数为，为未知参数，为简单随机样本，求（1）常数及的分布函数，2）的矩估计量和最大似然估计量，3） 讨论估计量的无偏性。
解： （1）由规范性，则有，即，又，2）
令，则为的矩估计量；
为的最大似然估计量，（3），最大似然估计量不是的一个无偏估计量。
例5、设总体，为简单随机样本， 求(1).（2）()
3)若是的无偏估计量，求。
解： 例6、设总体的密度函数为。
为未知参数，为简单随机样本，求（1）的矩估计量和最大似然估计量，2） 讨论估计量的无偏性。
令，则：，为的矩估计量。
又的联合概率密度为。
则的最大似然估计量为。
2）由。对的矩估计量。
不是无偏估计量。
对的最大似然估计量，是无偏估计量。
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