一、分式。1.分式的概念。
一般地,形如的式子叫分式,其中a,b表示两个整式,b中含有字母,如都是分式。
2.有理式的概念。
整式和分式统称为有理式。如等虽有分母,但分母中不含字母,因此它们都是整式。
3.分式有意义的条件:分母不能为零。
4.分式无意义的条件:分母为零。
5.分式的值为零的条件:分子为零且分母不为零。
例1】在有理式中,分式的个数是( )
a.1 b.2 c.3 d.4
例2】当x取什么值时,下列分式的值为零?
二、分式的基本性质。
1.分式的基本性质。
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质,用式子表示是 (其中m是不等于零的整式)
2.分式基本性质的运用。
1)把分式中分子、分母的系数化为整数。
例如,分式的分子、分母系数都是分数,根据分式的基本性质,将分式的分子和分母同乘以12,就可以化为整系数 =
2)改变分式中分子、分母、分式的符号。
例如:所以,根据分式的基本性质可得到符号法则:分式的分子、分母及分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。
注意分式的分子、分母是多项式时,如果用同一个整式去乘以(或除以)分式的分子与分母,应该用该整式去乘以(或除以)多项式的第一项,而不是第一项。
例1】填出下列各等式中未知的分子或分母。
例2】不改变分式的值,把分式的分子和分母中各项的系数都化为整数。
例3】不改变分式的值,使下列分式中的分子、分母都不含有“–”号。
三、分式的乘除法。
1.约分。把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫约分约分的依据是分式的基本性质。
2.最简分式。
分式的分子与分母没有公因式。如等都是最简分式。运算的结果一定要化为最简分式。
3.分式的乘法:法则。
当分子、分母都是单项式时,直接用法则运算,约去公因式,即系数约最大公约数,字母约最低次幂;当分子、分母是多项式时,先将它们进行因为式分解,并在运算过程中约分,使运算简化。
4.分式的除法:法则
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘,即分式的除法转化为乘法运算。
5.分式的乘方: (n为正整数)
例1】计算:
例2】计算。
四、分式的加减法。
1通分。根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分。
2.最简公分母。
1)取各分母系数的最小公倍数;
2)凡出现的字母(或含字母的式子)因式都要取,并且相同字母(或含字母的式子)取最高次幂,这样取的因式的积,就是最简公分母。
将几个分式通分时,如果分母为多项式,一般应先分解因式。
通分的关键就是确定几个分式的最简公分母。
3.分式的加减法。
1)同分母的分式加减法法则:分母不变,把分子相加减,即。
2)异分母的分式加减法法则:先通分,变为同分母的分式,然后加减,即。
4.分式的混合运算。
按运算顺序,先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号则应先算括号里面的,运算结果化为最简分式。
例1】计算:
例2】计算
例3】计算:
五、含字母系数的一元一次方程。
1.关于x的方程ax = b(a≠0)
x是未知数,a,b是字母系数,这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程。
如果没有特殊说明,在含有字母系数的方程中,一般用a, b,c等表示已知数,用x,y,z等表示未知数。
2.含有字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同。
注意用含有字母的式子去乘或除方程的两边,这个式子的值不能等于零。
例1】解关于x的方程:
1) (a + b ≠02) (m2≠n2)。
六、可化为一元一次方程的分式方程。
1.可化为一元一次方程的分式方程。
1)分式方程。
像的方程,即分母含有未知数的方程叫做分式方程。不是分式方程,因为它虽然有分母,但分母里不含未知数。
2)解分式方程。
解分式方程的指导思想是把分式方程化为整式方程来解。在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,叫做原方程的增根,所以解分式方程必须检验。
解分式方程的一般步骤:
去分母:在分式方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程;
解这个整式方程;
检验把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去。
例1】解方程例2】解方程。
例3】解方程。
例4】当m为何值时,解方程会产生增根。
七、综合能力检测。
一)、选择题。
1.分式,,,中最简分式有( )
a.1个b.2个c.3个d.4个。
2.使分式等于0的所有x的值是( )
a.xb.x = 1 c.x = 1或x = d.x = 1,x =
3.下面三个式子中,正确的有( )
a.0个b.1个c.2个d.3个。
4.使分式无意义的x值应等于( )
abcd.0
5.下列各式正确的是( )
ab. cd.
6.分式中,最简公分母是( )a.(m2 – n2)2b.(m + n)2 (m – n)
c.m2 – n2d.(m + n)(m2 – n2)
7.将分式,用y的代数式表示x则得( )
a. b. c. d.
8.化简的最后结果是( )
ab. c.a2d.a – 2b
9.要使分式的值为零,则x的值是( )
a.x = 1b.x = 1c.x = 1d.x = 0
10.化肥厂原计划x天内生产化肥120吨,由于采用新技术,每天增加生产3吨,因此提前2天完成计划,列出方程应是( )
ab. cd.
二)填空题。
11.在以下六个有理式:– 3x,,,7xy2,,中,分式有。
12.要使分式有意义,a的值应取要使分式的值为0,a的值应取。
13.若是恒等式,则ab
14.计算。
三)解答题。
15.约分:
16.计算:
17.解下列分式方程:
5)(n6)
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