第二节函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性。
题型15 函数的奇偶性。
1. (2013浙江理4） 已知函数，则“是函数”是的 (
a.充分不必要条件b. 必要不充分条件。
c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件。
2.（2013山东理3）已知函数为奇函数，且当时，，则。
abcd.
3．(2013广东理2）定义域为的四个函数，，，中，奇函数的个数是（ ）
abcd．
4. （2014 新课标1理 3 ）设函数，的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
a. 是偶函数b. 是奇函数。
c. 是奇函数d. 是奇函数。
5.（2015安徽理2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
abcd.
5.解析对于选项a，是偶函数，且由得，故a正确；对于选项b，是奇函数，故b错误；
对于选项c，的定义域为，故不具备奇偶性，故c错误；
对于选项d，是偶函数，但在实数范围内无解，即不存在零点，故d错误．故选a．
6.（2015福建理2）下列函数为奇函数的是（ ）
a． b． c． d．
6.解析函数是非奇非偶函数；和是偶函数；
是奇函数．故选d．
7.（2015广东理3）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
ab． c． d．
7. 解析令，则，，即，所以既不是奇函数也不是偶函数，而a,b,c依次是偶函数、奇函数、偶函数．故选d．
8.（2015全国i理13）若函数为偶函数，则。
8.解析由题意可知函数是奇函数，所以。
即，解得．9.（2016全国丙理15）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是。
9. 解析解法一：先求函数在上的解析式，再求切线方程。
设，则，又，所以，所以在点处的切线方程为，即。
解法二：由函数性质来求切线方程。因为为偶函数，所以若在点处的切线方程为，则在点处的切线方程为。因此，先求出在点处的切线方程。
又，得，所以在点处的切线方程为，所以在点处的切线方程为，即。
题型16 函数的单调性。
1.（2014 天津理4）函数的单调递增区间是（ ）
a. b.
c. d.
2.（2014 北京理 2）下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
a. b. c. d.
3. （2014 陕西理 7）下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）
abc. d.
4.（2014 大纲理22）（本小题满分12分）函数。
1）讨论的单调性；
2）设，求证：.
5.（2015湖南理5）设函数，则是（ ）
a.奇函数，且在上是增函数 b.奇函数，且在上是减函数。
c.偶函数，且在上是增函数 d.偶函数，且在上是减函数。
5. 解析由已知的定义域为，关于原点对称。
又因为，所以为奇函数。
当时，，即在上为增函数。故选a.
6.(2015四川理9)如果函数在区间。
上单调递减，那么的最大值为（ ）
abcd.
6. 解析当时，抛物线的对称轴为；
当时，，即。
因为，所以。
由且，得；当时，抛物线开口向下，根据题意可得，，即。
因为，所以。
由且，得，故应舍去。
要使得取得最大值，应有。
所以。所以最大值为。故选b.
abcd.
7.（2015北京理5）已知，且，则（ ）
a. b. cd.
7. c 解析选项a错误：因为；
选项b错误：三角函数在上不是单调的，所以不一定有。
举反例如，当时，；
选项c正确：由指数函数是减函数，可得；
选项d错误：举一个反例如，，.满足，但。
故选c.8.（2016上海理22）已知，函数。
1）当时，解不等式；
2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；
3）设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过，求的取值范围。
8. 解析 （1）由题意，即，整理得，即，故不等式的解为；
2）依题意，所以， ①
整理得，即， ②
当时，方程②的解为，代入①式，成立；当时，方程②的解为，代入①式，成立；
当且时，方程②的解为或，若为方程①的解，则，即，若为方程①的解，则，即。
要使得方程①有且仅有一个解，则或，即。
综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则的取值范围为或或。
3）当时，所以在上单调递减。因此在上单调递减。故只需满足，即，所以，即，设，则，.
当时， ；当时，，又函数在递减，所以。故。故的取值范围为。
评注第（3）问还可从二次函数的角度考查，由整理得对任意成立。因为，函数的对称轴，故函数在区间上单调递增。所以当时，有最小值，由，得。故的取值范围为。
9.（2017山东理15）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质。下列函数中所有具有性质的函数的序号为 .
9.解析在上单调递增，故具有性质；
在上单调递减，故不具有性质；
令，则，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；
令，则，所以在上单调递增，故具有性质．
综上所述，具有性质的函数的序号为①④.
题型17 函数的奇偶性和单调性的综合。
1.（2014 新课标2 理 15）已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是。
2.（2014 北京理18）（本小题13分）已知函数，1）求证：；
2）若在上恒成立，求的最大值与的最小值。
3.（2014 广东理 21）设函数，其中。
1）求函数的定义域；（用区间表示）;
2）讨论在区间上的单调性。
4.（2014 福建理7）已知函数则下列结论正确的是（ ）
a. 是偶函数 b. 是增函数。
c. 是周期函数 d. 的值域为。
5.（2014 湖北理10）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若，则实数的取值范围为（ ）
a. b. c. d.
6.（2014 湖南理3）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
abcd.
7.（2014 湖南理10）已知函数与图像上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
8.（17江苏11）已知函数， 其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是。
8.解析易知的定义域为。
因为，所以是奇函数．
又，且不恒成立，所以在上单调递增．
因为，所以，于是，即，解得．故填．
9.（2017天津理6）已知奇函数在r上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
a. b. c. d.
9.解析因为奇函数在上增函数，所以当时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数。，又，则，所以，于是，即。故选c.
10.(2017北京理5)已知函数，则（ ）
a.是奇函数，且在上是增函数b.是偶函数，且在上是增函数。
c.是奇函数，且在上是减函数d.是偶函数，且在上是减函数。
10.解析由题知，，所以为奇函数。又因为是增函数，也是增函数，所以在上是增函数。
故选a.11.（2017全国1理5）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
abcd．
11.解析因为为奇函数，所以，于是等价于。
又在单调递减，所以，所以。
故选d.题型18 函数的周期性。
1.（2014 安徽理 6）设函数满足。当时，，则（ ）
abcd.
2.（2014 四川理 12）设是定义在上的周期为的函数，当时，，则 .
3.（2016浙江理5）设函数，则的最小正周期（ ）
a.与有关，且与有关 b.与有关，但与无关
c.与无关，且与无关 d.与无关，但与有关。
解析由，的最小正周期为，的最小正周期为。
当时，，此时的最小正周期是；
当时，此时的最小正周期为，所以影响的最小正周期，而为常数项不影响的最小正周期。故选b.
4.（2016江苏11）设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其中，若，则的值是。
4. 解析由题意得，.
由，可得，则。
5.（2017江苏14）设是定义在且周期为的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是。
5.解析由题意，所以只需要研究内的根的情况．
在此范围内，且时，设，且互质，若，则由，可设，且互质。
从而，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，于是不可能与内的部分对应相等，所以只需要考虑与每个周期内部分的交点。
如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除外，其它交点均为的部分．
且当时，，所以在附近只有一个交点，因而方程解的个数为个．故填．
1．（2013四川理10）设函数（，为自然对数的底数）．若曲线上存在使得，则的取值范围是（ ）
2函数的基本性质
函数的性质通常是指函数的定义域 值域 解析式 单调性 奇偶性 周期性 对称性等等，在解决与函数有关的 如方程 不等式等 问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的。i 函数的定义。设a，b都是非空的数集，f是从a到b的一个对应法则。那么，从a到b的映射f a...
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