第一节空间向量。
立体几何是高考中的必考内容，会出现在客观题或主观题中，同时在解答题中通常一定有一道综合题，放在解答题的中间位置，属中档题，多数情况用传统法、向量法都可以进行解答，用向量法来解大都可以降低难度、简化运算。空间向量是理科的必学内容。
考试要求 1、空间向量及其运算：⑴了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。⑵掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
⑶掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
2、空间向量的应用：⑴理解直线的方向向量与平面的法向量。⑵能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。
⑶能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）⑷能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。
题型一空间向量解决平行与垂直问题。
例1如图5-1-1,在四棱锥p—abcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd⊥底面abcd,pd=dc,e是pc的中点，作ef⊥pb交pb于点f.
（1）证明pa//平面edb；
2）证明pb⊥平面efd；
点拨：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，可用传统方法也可用向量方法。用向量方法关键是先要适当建立空间直角坐标系，然后利用向量的垂直和平行，通过数量积转化成坐标计算来解决。
解：如图所示建立空间直角坐标系，d为坐标原点，设。
1）证明：连结ac,ac交bd于g,连结eg.
依题意得。底面abcd是正方形，∴g是此正方形的中心，故点g的坐标为且。,这表明pa//eg.
而平面edb且平面edb,∴pa//平面edb.
2）证明：依题意得，.又， 故。∴.
由已知，且，所以平面efd.
易错点：不能建立恰当坐标系，导致每个点的坐标难求且数据复杂，会使运算量大，造成错误。
变式与引申1：如图5-1-2，正方形abcd和四边形acef所在。
的平面互相垂直，ce⊥ac,ef∥ac,ab=，ce=ef=1.
ⅰ）求证：af∥平面bde；
ⅱ）求证：cf⊥平面bde.
题型二空间向量解决空间角问题。
例2（2010·湖北高考理科·ｔ18）如图5-1-3, 在四面体中，, 且。
ⅰ) 设为的中点。证明：在上存在一点，使，并计算的值；
ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值。
点拨：(ⅰ由，可思考建立坐标系，利用向量的平行与垂直，向量的加减法。结合三垂线定理等知识解决。(ⅱ通过法向量的寻找来解决。
解： (取为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系（如图5-1-4所示）
则， 为的中点，∴.
设，且（0，1），=即，，因此存在点，使得。
ⅱ)记平面的法向量为，则由且，得，故可取，又平面的法向量为，，二面角的平面角是锐角，记为，则cos=.
易错点：寻找所求的二个二面角的法向量易出错，判断二面角的平面角是否为锐角或钝角出错。
变式与引申2：.(2008海南、宁夏理)如图5-1-5，已知点p在正方体abcd－a1b1c1d1的对角线bd1上，∠pda=60°.
1）求dp与cc1所成角的大小；（2）求dp与平面aa1d1d所成角的大小。
题型三空间向量解决距离问题。
例3如图5-1-6在三棱锥s—abc中，△abc是边长为4的正三角形，平面sac⊥平面abc,sa=sc=2,m、n分别为ab、sb的中点。
ⅰ）证明：ac⊥sb；
ⅱ）求二面角n—cm—b的余弦值。
ⅲ）求点b到平面cmn的距离。
点拨：如果传统法 (1)需作辅助线再构造一平面，可得线面垂直结论，即可证得线先垂直；(2)由三垂线定理作出二面角的平面角，再由直角三角形知识即可求解；(3)由等体积转换即可求解。但解此题用下面的空间向量知识解更简捷。
解：（ⅰ取ac中点o,连结os、ob.
sa=sc,ab=bc,ac⊥so且ac⊥bo.
平面sac⊥平面abc,平面sac∩平面 abc=ac
so⊥面abc,∴so⊥bo.
如图5-1-7所示建立空间直角坐标系o－xyz.
则a（2,0,0）,b（0,2,0）,c（－2,0,0）,
s（0,0,2）,m(1,,0),n(0,,)
=（－4,0,0）,=0,2,2）,·4,0,0）·（0,2,2）=0,ac⊥sb.
ⅱ）由（ⅰ）得=（3,,0）,=1,0,）.设n=（x,y,z）为平面cmn的一个法向量，则
n=－x+z=0, 取z=1,则x=,y=-,n=(,1),又=(0,0,2)为平面abc的一个法向量，
cos(n,)=
二面角n－cm－b的余弦值。
ⅲ）由（ⅰ）得=（－1,,0）,n=（,1）为平面cmn的一个法向量，点b到平面cmn的距离d==.
易错点：利用向量的数量积的方法解决距离点面距离的问题，方法很巧，但公式易要记错。
变式与引申3(06福建) 如图5-1-8,四面体abcd中，o、e分别bd、bc的中点，ca=cb=cd=bd=2，ab=ad=
ⅰ）求证：ao⊥平面bcd；
ⅱ）求异面直线ab与cd所成角的余弦值；
ⅲ）求点e到平面acd的距离。
题型四空间向量解决探索性问题。
例4如图5-1-9,四边形为正方形，四边形为矩形，⊥平面，为的中点，且，试问：**段上是否存在点，使得⊥平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由。
点拨：结论探索性问题方法是先假设存在，再去推理，解假设**段上存在一点。
使得⊥平面。
如图5-1-10，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，有，设。
又∴ 注意到pe⊥平面amn
即**段上存在点，使⊥平面，线段的长为。
易错点： 应用传统方法，寻找解题思路有难度，用向量的方法可以降低思维的难度。空间坐标系的建立要恰当，向量与方程的运算易错。
变式与引申4：如图5-1-11，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.
ⅰ）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；
ⅱ）**段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于。并证明你的结论。
本节主要考查：⑴知识点空间向量的概念及运算、空间直角坐标系及运算。⑵向量数量积、法向量、利用向量数量积处理空间中的平行、垂直问题；空间角和空间距离等综合应用问题。
⑶空间想像力、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力等基本数学能力。
点评：⑴立体几何考查的重点是空间想像力，各种位置关系，尤其是平行与垂直⑵ 位置关系：两条异面直线相互垂直只要证两条异面直线的方向量相互垂直；..
平面和平面相互垂直用向量法就是证明两个平面的法向量相互垂直。⑶求距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
点到平面的距离的求法： “一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。向量法，利用公式（其中a为已知点，b为这个平面内的任意一点，这个平面的法向量）⑷求角；两条异面直线所成的角：
通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。直线和平面所成的角： “一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为或。平面与平面所成的角： “一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。
②向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α
习题5-11、如图5-1-12在直角坐标系中，设，，沿轴把坐标平面折成的二面角后，的长为（d）
a． b． cd．
2、（2010·广东高考理科·ｔ１0）若向量=（1,1,x）, 1,2,1), 1,1,1),满足条件=-2,则。
3.(2007四川理）如图5-1-13，是直角梯形，∠＝90°，∥1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥直线与直线所成的角为60°.
ⅰ）求证：平面⊥平面；
ⅱ）求二面角的余弦值；
ⅲ）求三棱锥的体积。
4（2006湖北高考）如图5-1-14,已知正三棱柱abc-a1b1c1的侧棱长和底面边长均为1,m是底面bc边上的中点，n是侧棱cc1上的点，且cn＝2c1n.
ⅰ）求二面角b1－am－n的平面角的余弦值；
ⅱ）求点b1到平面amn的距离。
5、如图5-1-15所示，在正方体abcd－a1b1c1d1中，e是棱dd1的中点。
ⅰ）求直线be与平面abb1a1所成的角的正弦值；
ⅱ)在棱c1d1上是否存在一点f，使b1f//平面a1be？证明你的结论。
第二节平行与垂直。
三视图是新课标高考命题的必考点，大多以小题出现，难度不大。而立体几何中的平行和垂直关系也是高考命题的重点和热点，其中线面垂直的判定和性质几乎年年出现，面面垂直的性质和判定定理也是高考的一个热点，同时各平行的判定和性质也仍会被关注。考题多以解答题出现，属中档或中高档题，难度一般控制在0.
50--0.75之间。
考试要求 （1）能画出简单空间图形（长方体，球，圆柱，圆锥，棱柱等简单组合体）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；（2）理解线线平行，线面平行，面面平行的判定及性质定理，能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题；（3）理解线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定及性质定理，能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。
理科立体几何
第16节 攻破解答题4 空间向量与立体几何 1 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点e是sd上的点，且。1 求证 对任意的，都有ac be 2 若二面角c ae d的大小为，求的值。2 如图，正三棱柱abc a1b1c1中，底面边长为2，侧棱长为，为中点 求证 平面 求二面角a1 ab1 d的大小 ...
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立体几何 理科
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