第一讲数的整除问题。
一、 基本概念和知识：
1、 整除：
定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。用符号“b| a”表示。
2、 因数和倍数：
如果a能被b整除，即a÷b=c
由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数。
提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。
练习：写出下面每个数的所有的因数：
1的因数7的因数。
2的因数8的因数。
3的因数9的因数。
4的因数10的因数。
5的因数11的因数。
6的因数12的因数。
公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。
如：3和4的公因数是6和8的公因数是。
3、质数与合数：
在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。
１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。
２） 合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
３）0和１既不是质数，也不是合数。、
请写出20以内的所有质数。
注意：最小的质数是___质数里面除了___是偶数外，其它都是___数。
4、互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。
这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。 “公因数只有 1”，不能误说成“没有公因数。”
例如，2与与与与 26等等。
4、质因数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，它们叫做这个合数的质因数。
练习：13×4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
练习---把下列各数分解质因数。
当数字比较大的时候，我们用短除法可以快速的分解质因数。
例题---用短除法把下列各数分解质因数。
练习。1、把下列各数分解质因数。
2、（第九届小学希望杯全国数学邀请赛）在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是。
3、（2024年第十届希望杯试题）只能被1和他本身整除的自然数叫做质数， 如：2,3,5,7等，那么，比40大并且比50小的质数是，小于100的最大的质数是。
4、（第七届希望杯试题）若用g（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有，共4个，记作g（6）=4，则g(36)+g(42)=.
5、(2024年第十四届希望杯)已知a,b,c都是质数，若a×b+b×c=119，则a+b+c=.
二、数的整除性：
1、能被2整除的数的特征：个位数一定是0，2，4，6或8。
偶数：能被2整除的整数称为偶数，如：0，2，4，6，8，10，12，14，…
奇数：不能被2整除的整数称为奇数。如：1，3，5，7，9，11，13，15，…
偶数和奇数有如下运算性质：
偶数±偶数=偶数， 奇数±奇数=偶数， 偶数±奇数=奇数，偶数×偶数=偶数， 偶数×奇数=偶数， 奇数×奇数=奇数。
提醒：1）如果两个整数的和（或者差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；
2）如果两个整数的和（或者差）是奇数数，那么这两个整数的奇偶性相反；
2、能被5整除的数的特征是：个位是0或5
3、能被3整除的数的特征是：各个数位数字之和能被3整除。
如：27, 215等等。
4、能被9整除的数的特征是：各个数位数字之和能被9整除。
如：81, 216等等。
5、能被4或25整除的数的特征是：末两位数能被4或25整除。
如：264能被4整除，150能被25整除。
6、能被8或125整除的数的特征是：末三位数能被8或125整除。
如：2168能被8整除，不能被125整除。
7、能被7（11或13 ）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差，（大减小）能被7（11或13 ）整除。
例如：判断1540是否是7的倍数？
解：把1540分成1和540两个数，因为540-1=539，由539能被7整除，所以1540能被7整除，因此1540是7的倍数。
例题1、已知六位数能被3整除，数字a=？
解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，数字a只能是2，5或8。即符合题意的a是2，5或8。
例题2、五位数48a1b能同时被2,3,5整除，则a=__b=__
例题3、（2024年第十届希望杯决赛）如果六个连续奇数的乘积是135135，则这六个数的和是 。
练习：1、（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛）若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是。
2、（第十一届中环杯初赛）已知a24b8是一个五位数，且是8的倍数，则a24b8 最大是最小是___
3、四位数8a1b能同时被2,3,5整除，则这个四位数是。
4、（第十一届2024年“希望杯”全国数学邀请赛）在2013的质因数中，最大的质因数与最小的质因数的乘积是（ ）
5、（第十一届2024年“希望杯”全国数学邀请赛）喜羊羊打开一本书，发现左右两页的页码数的乘积是420，则这两页的页码数的和是（ ）
6、（2024年第十二届希望杯初赛试题）自然数是3的倍数，是4的倍数，是5的倍数，则最小是57。
分析：从题目中可以看出，这个数是3的倍数，也是4的倍数余1，也是5的倍数余2.
可以用枚举法，先从5的倍数余2考虑，末尾应该是2或者7.末尾是2，不符合4的倍数余1，所以末尾肯定是7.从小到大枚举：7,17,27,37,47,57.只有57符合。
三、整除的性质：
1、如果a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除。
例如：9能被3整除，81也能被3整除，那么81+9=90,81-9=72都能被3整除。
2、（*如果a能被b整除，a也能被c整除，并且b、c互质（除1以外，没有其它公共因数），那么，a就能被b和c的乘积整除。
例如：24能被3整除，24也能被4整除，由于3和4互质，所以24也能被3×4=12整除。
例题4、在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？（山东省小学生数学竞赛初赛试题）
解：因为15=3×5，且3和5互质。所以，只需分别考察能被3和5整除的情形。
由能被5整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是5或0。
再据能被3整除的数的特征试算，若个位上是5，则有3＋2＋5=10。可推知，百位上最大可填入8。即组成的四位数是3825；若个位上是0，则有3＋2＋0=5。
可推知，百位上最大可填入7。即组成的四位数是3720。 故知，这个数是3825。
例题5、（第十一届2024年“希望杯”全国数学邀请赛）一个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，则这样的数中最小的是（ ）
例题6、(2024年第十届希望杯试题)有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个6个地数，多4个；8个8个地数，少2个。已知这筐桃子的个数不少于120，也不多于150，则这筐桃子共有个。
练习：1、(2024年第十四届希望杯)若六位数能被12整除，则这样的六位数有个。
2、（第十一届2024年“希望杯”全国数学邀请赛决赛试题）如果一个小于100的自然数除以3，除以4，除以5都余2，那么这个数最小是___最大是___
巩固练习：的因数有（1,2,3,4，6,9,12,18,36），它的质因数有（2,3）。
2、有三个小朋友，他们的年龄正好是三个连续的自然数，且他们年龄的积是210，这三个小朋友的年龄分别是（5）岁、（6）岁、（7）岁。
解：用短除法分解质因数：210=2×3×5×7=5×6×7
3、 有一个长方形，长和宽都是整厘米数，面积是231平方厘米。这个长方形的长和宽分别是（）、
解：用短除法分解质因数：231=3×7×11
则此长方形的长和宽有以下几种情况： 1、长3×7=21cm，宽11cm； 2、长3×11=33cm，宽7cm； 3、长7×11=77cm，宽3cm。
4、 若9位数2016□2016能够被9整除，则□里的数是9
解：个位数字之和是9的倍数，可以得出，方框内应填“9”
5、某个自然数，被3除余2，被5除余4，被7除余6，这个自然数最小是。
6、已知五位数a329b能同时被8和9整除，则a=_5___b=_6___
分析：根据能被8整除的数的特征，后三位应该能被8整除，29b 除以8，列竖式，可以推算出b=6。然后根据能被9整除的数的特征，各位数字之和能被9整除，所以a=5.
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