摘要。**以动态规划为理论基础，根据问题的背景，建立了周期性循环模型。根据本文所给条件分析后，把测试项目分成两大模块，第一个测试模块为台阶测试，第二大模块为立定跳远、肺活量、握力和身高与体重的测试。
如此设定测试方式之后，可知两大模块测试所需要的时间大致相同，因此我们设定 20人为一个大组，一个大组又分成2个小组，每小组10个人；两个小组在测试的第一阶段分别进行两个模块的同步测试，当第一阶段的测试结束之后进入测试的第二阶段，即两个小组交换所测模块进行测试，从而使得测试可以周期性的进行，每一个周期可以测试20人，用时430秒。
文章所建模型安排的这种20人一组的周期性测试方式使得每个学生的等待时间都尽可能的短了，做到了班与班的无缝连接，并且不会出现过多学生同时在测量地点的情况，避免了人数超过150的限制。文章还根据这五项测量仪器的测试速度不同得出跳远、肺活量、握力和身高与体重测试仪器数量只需要1台，而台阶测试仪器则需要2台同时使用。
本文进而通过使用动态优化的方法把56个班分成3个群，第一和第二个群的总人数都为680人，第三个群为676个人。通过统筹安排使得每个群都可以在上午的时间段8：00—12：
10这个段内完成全部的测试项目，这样我们所需的总时间段数只要3个即可。也就是说采用本文所用的模型可以在三个上午的时间段内完成所有学生的测试，总共耗时43930秒(12小时12分10秒)。
最后文章对每个群内的班级排列顺序进行了优化，并安排出了每个班进行测试的详细时间表。
我们对模型进一步的分析，也对模型的有些不足做了评价，并对学校进行测试的安排和设备配置方面给予了一些建设性的意见。
关键词：动态规划、背包问题、周期性循环模型。
一．问题重述。
某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。
身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要3分30秒。
每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，于是如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的。
学校安排每天的测试时间为8：00－12：10与13：
30－16：45两个时间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。
参加体能测试的各班人数见附表。
学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。
请你用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划，并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。
最后，请对学校以后的体能测试就以下方面提出建议，并说明理由：如引进各项测量仪器的数量；测试场所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。
附表参加体能测试的各班人数。
二、问题分析。
1) 如何使用这些仪器。
为分析简明先做如下符号代替：
设备a：肺活量测量仪器。
设备b：立定跳远测量仪器。
设备c：握力测量仪器。
设备d：身高与体重测量仪器。
设备e：台阶实验测量仪器。
、、、分别是设备abcde的处理能力。单位为：秒/人。
那么在不考虑学号录入的前提下，在这五类设备中，设备a的处理能力为＝20秒/人；
设备b的处理能力为=20秒/人；
设备c的处理能力为=15秒/人；
设备d的处理能力为=10秒/；
设备e的处理能力为＝210秒/批 （42秒/人）。
可见设备e是批次处理的，每批处理5人。
并且已知，设备a,b各有一台，设备c有两台，设备d有三台，设备e有两台。如果两台设备c同时运行，其总的处理能力为7.5秒/人；三台设备d同时运行，其总的处理能力为秒/人，两台设备e同时运行，其总的处理能力为210秒/10人（21秒/人）。
可见，这五类设备的处理能力是不同的，平均处理一个学生的时间是不同的，设备e处理一个学生所用的时间最长，为21秒（两台合用时），其他设备的处理速度要快于设备e。也就是说这五台设备处理学生的速度不同步，并且设备e因为其处理速度最慢，所以是整个测量过程中的一个瓶颈。
并且此时，当同时使用两台设备c和使用三台设备d时，设备cd因为本来处理能力就强，所以这时候肯定会出现设备c，d闲置浪费的情况。通过分析我们可以知道对于设备c和d来说，只用一台就可以了。而设备e则必须使用两台，才基本上和设备a、b的处理速度同步。
结论一：设备a、b、c、d各使用一台，而设备e使用两台。
2）如果安排测量时段。
设备e是整个测量过程瓶颈，只要项目e测量结束，则整个测量也结束了，在不考虑学号录入情况下（合）＝210/10（秒/人）；即两台设备e同时并行处理的话，每处理10个人需要210秒。
基于上面的分析我们知道，在测试项目e的时候，假设每5人为一小组的学生都是都是按照学号排序进行测量，在不考虑学号录入的情况下，由题目所给各个班级的人数表，可以计算出两台设备e同时并行处理的时候处理完总人数2036人，所需要的总时间：
t(总)＝2036＝2036×210/10＝42756 秒。
但是在实际情况中，不可能不需要记录学号，所以我们需要对上述模型进行改进。假设每一组的第一个学生需要记录学号，而他之后的4个学生因为和他学号相连所以不需要录入学号的时间了，所以每5人一小组在使用设备e的时候需要额外增加5秒的学号录入时间；另外一个5人小组亦是如此，但由于这两个小组是同步进行的，所以可以认为此时的=215（秒/人）。由此计算出两台设备e同时并行处理的时候处理完总人数2036人，所需要的总时间：
t(总)＝2036×＝2036×215/10＝43774秒。
又由于上午的时间段8：00－12：10 的总时间是15000秒，下午的时间段13：
30－16：45的总时间是11700秒，课件上午的时间段总时间大于下午时间段的时间的。又因为题目要求所用的时间段数尽量的少，那么很明显可以看出来如果我们所用的时间段内包含下午的话，最少需要四个时间段；而如果我们只用上午时间段的话则有可能使用三个时间段就足够了。
因为上面所分析得出的t(总)=43774秒小于15000×3＝45000秒。
实际上由于不是每个组都要录入学号。所以，如果安排得当，那么说整个测试所需总时间会小于43774秒。
结论二：整个测量过程可以在三个上午的时间段内完成。
具体如何安排将在下面内容中求解。
三、模型假设。
1. 每个学生在转换测试项目是一瞬间完成，时间可以忽略不计。
2. 测试时间的随意选择，允许不选择一天的13：30—16：45时间段。
3. 每个学生能严格按照所安排的顺序、时间去完成测试。
4. 设备a、b、c、d各使用一台，而设备e使用两台进行并行处理。
5. 假设学生测试的时候都是按照学号顺序组队入场的。
四、 符号说明。
设备a：肺活量测量仪器。
设备b：立定跳远测量仪器。
设备c：握力测量仪器。
设备d：身高与体重测量仪器。
设备e：台阶实验测量仪器。
一台肺活量测量仪器用一次用时（20秒）
一台立定跳远测量仪器用一次用时（20秒）
一台握力测量仪器用一次用时（10秒）
一台身高与体重测量仪器用一次用时（15秒）
一台台阶实验测量仪器用一次用时（210秒）
表示第i个班；（i=1,2,3………56）
2036人 （即参加测量的学生总数为2036人）
、、、分别是设备abcde的处理能力。单位为：秒/人。
表示第i个班的学号为第j号的学生。
ti：表示第i个班进行测试所需要的时间。
ni：表示第i个班的总人数。
五、 模型建立、求解与数据分析。
分析五台设备运行能力。
方案一：在不考虑连号情况下，即每个人都得录入学号时先分析各设备e是连续进行仪器的运行速度情况。见下图。
图1由图形可以直观的看出，对于设备c、d，其测试速度对比其它三项是相当快的。也就是说应重点考虑其它三项的时间安排问题。由图1看，设备a、b、e的产出相当接近。
且不考虑连号的5秒时是设备a、b用时较多。
方案二：我们将连号的5秒考虑进来进行比较。同时考虑到设备e每台每次能有5人进行测试，那么不妨以每5人为一小组进行测试且5人的学号是相连的。
也就是说，将拥有n人的班级分成每5人一组加余数的人一组。同样对比5个项目的用时情况分析作图如下：
图2由图2看，设备c、d仍然是用时相当短。而设备a、b、d发生了些小变化。就是设备d成为用时最多的一个。但也只是多出5秒。
对比图可以看出，图2的测量相同人数用时比图一的小。那么就是说方案二的测试速度更快。
而考虑到设备d是连续进行，具有批量性的特点。设备a、b、c、d是单人进行。由图2分析，设备e一个周期运行中可完成10人测试。这与设备a、b测试10人周期大致相同。
那么，将设备e做为一个模块，其它四项做为一个模块采用排队循环模式进行。如下图：
图3由图3，此过程周期t1。且再次循环时为t2。循环模式为（x(1)、x(2)、-x(10)）与（x(11)、x(12)、-x(20)）调换将各自剩余的项目测完。
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