第26课时幂函数（1）
江苏省通州高级中学严东来。
教学目标】1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质．
2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力．
3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．
学习指导】 本节的重点有两个：一是幂函数的定义；二是幂函数的图象与性质．研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数，如、及的图象研究归纳的图象特征和函数性质，通过对幂函数、及的图象研究归纳的图象特征和函数性质．难点也有两个：一是幂函数与指数函数定义是有区别的，学生容易混淆．二是幂函数的定义域与图象是复杂多变的，要根据指数的具体情况而定．
学习时应该注意：⑴ 研究幂函数的性质时，通常将分数指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分数形式再去进行讨论；⑵ 对于幂函数，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．
运用幂函数的性质比较函数值的大小，若底数不同，指数相同，则用幂函数的性质即可作出判断，若底数相同，指数不同，则用指数函数的性质来作出判断．解题的时候要特别注意灵活的使用幂函数的图象和性质．
例题精析】例1．写出下列函数的定义域，指出它们的奇偶性．并画出它们的图象，观察这些图象，看看有什么共同点？
⑴ y＝；⑵y＝；⑶y＝；⑷y＝．
分析】分数指数幂可以与根式相互转化．把各函数解析式先化成根式形式即可．
解法】⑴；y=；⑷函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．⑴的定义域为，⑵⑶的定义域都是r；其中⑴既不是奇函数也不是偶函数，⑵⑷是奇函数，⑶是偶函数．它们的图象都经过点和，且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势，即函数在单调递增．
例2．仿照例1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象，看看有什么共同点？
⑴ y＝x－1；⑵ y＝x－2；⑶ y＝；⑷y＝．
分析】 先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式．
解法函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；⑴⑵的定义域都是，⑶的定义域是；根据函数奇偶性的定义可得⑴⑷是奇函数，⑵是偶函数，⑶既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点，且在第一象限内函数图象自左向右呈下降趋势，并且以两坐标轴为渐近线．反应出这些函数在上单调递减．
评注】通过例1和例2的解决过程，体现数学学习的过程是一个建立在经验基础上的主动建构的过程，让学生在合作中获取知识．
知识提炼】 1．幂函数图象。
2．幂函数图象性质。
1 都过点(1，1)；
2 a＞0时，在第一象限内函数的图象随x的增大而上升，函数在区间上是单调增函数．当a＜0时，在第一象限内函数的图象随x的增大而下降，函数在区间上是单调减函数．
3 除原点外，任何幂函数图象与坐标轴都不相交，任何幂函数图象都不过第四象限；
4 任何两个幂函数图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(1，1)，(1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点．
a＞0时幂函数图象总过原点，a≤0时，幂函数图象不过原点．
例3．讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：
分析】 根据幂函数的性质讨论定义域、奇偶性，单调性．
解法】 ⑴y＝x5的定义域是(－∞值域也是(－∞是奇函数，
5＞1，∴y＝x5在(－∞上是增函数．
∵y＝x＝，定义域是(－∞0)∪(0，＋∞值域是(0，＋∞是偶函数，－＜0，∴y＝x在(－∞0)是增函数，在(0，＋∞是减函数．
评注】由例3让学生对幂函数性质的认识有一个提升．
例4．比较下列各题中两个值的大小．
⑴(－1.5)与(－1.7) ⑵3.14与π
(－5)与(－6) 3与2
分析】比较两数的大小可构造一个函数，考虑这个函数的单调区间．
解法】 ⑴考察函数y＝x，∵＞0
y＝x在(－∞0)上是减函数．
又∵－1.5＞－1.7， ∴1.5)＜(1.7)
考察函数y＝x，∵－0 ∴y＝x在(0，＋∞上是减函数．
又∵3.14＜π，3.14＞π
又5＞6 ∴－5＜－6，∴(5) ＜6)．
∵3＝9，2＝8，又9＞8 ∴3＞2．
评注】学生学习了幂函数以后，关键还在于对其性质要会灵活运用，例4是做一个基本的铺垫．
本课练习】
1. 下列命题中正确的是( )
a.当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；
b.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；
c.若幂函数y＝xn的图象关于原点对称，则y＝xn在定义域内y随x的增大而增大；
d.幂函数的图象不可能在第四象限．
2. 下列函数中，定义域为(0，＋∞的函数为( )
a. y＝x； c. y＝x； d. y＝x3．
3. 下列函数中不是幂函数的是( )
4. t1＝()t2＝()t3＝()则下列关系式正确的是( )
b. t3＜t1＜t2 c. t2＜t3＜t1 d. t2＜t1＜t3
5. 已知函数f(x)＝(a－1)·x
当a＝ 时，f(x)为正比例函数；
当a＝ 时，f(x)为反比例函数；
当a＝ 时，f(x)为二次函数；
当a＝ 时，f(x)为幂函数．
6. 函数y＝x a(a∈q)的图象，当0＜x＜1时，在直线y＝x的上方；当x＞1时，在直线y＝x的下方，则a的取值范围是 ．
7．若(a＋1)＜(3－2a)，试求a的取值范围．
8．m为怎样的值时，函数f(x)＝(mx2＋4x＋m＋2)＋(x2－mx＋1)0的定义域是r？
9． ⑴求函数y＝(x＋2)－2的定义域、值域．讨论当x增大时，函数值如何变化？并画出图象；
问上述函数的图象与函数y＝x－2的图象有何关系？
附答案：1．d 2. b 3. c 4. d 5. －2，0或－1；，2
提示：当f(x)为正比例函数时，，即a＝－2；当f(x)为反比例函数时，即a＝0或a＝－1；
当f(x)为二次函数时，，即a＝；
当f(x)为幂函数时，a－1＝1，即a＝2)
6. [2，3 (提示：即2≤x＜3
7． 幂函数的性质，有三种可能情况：或或。
解得：a∈(－1)∪(
由① m＞－1
由②△2＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2
综上：－1＜m＜2．
9．⑴；r＋．当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞－2时，y随x的增大而减小．
将的图象向左平移2个单位，即得到y=(x+2)-2图象．
教学建议】可参照【学习指导】
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