工程数学作业2答案

发布 2020-04-15 19:01:28 阅读 1386

工程数学作业(第二次)(满分100分)

第3章线性方程组。

一)单项选择题(每小题2分,共16分)

⒈用消元法得的解为(c ).

ab. cd.

⒉线性方程组(b ).

a. 有无穷多解 b. 有唯一解 c. 无解 d. 只有零解。

⒊向量组的秩为( a).

a. 3b. 2c. 4d. 5

⒋设向量组为,则(b )是极大无关组.

a. b. c. d.

⒌与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组无解,则(d).

a. 秩秩b. 秩秩。

c. 秩秩d. 秩秩。

⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组(a ).

a. 可能无解 b. 有唯一解 c. 有无穷多解 d. 无解。

⒎以下结论正确的是(d ).

a. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解。

b. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解。

c. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解。

d. 齐次线性方程组一定有解。

⒏若向量组线性相关,则向量组内(a )可被该向量组内其余向量线性表出.

a. 至少有一个向量b. 没有一个向量。

c. 至多有一个向量d. 任何一个向量。

9.设a,b为阶矩阵,既是a又是b的特征值,既是a又是b的属于的特征向量,则结论( )成立.

.是ab的特征值 b.是a+b的特征值。

.是a-b的特征值 d.是a+b的属于的特征向量。

10.设a,b为阶矩阵,若等式(c 成立,则称a和b相似.

二)填空题(每小题2分,共16分)

⒈当 1 时,齐次线性方程组有非零解.

⒉向量组线性相关 .

⒊向量组的秩是。

⒋设齐次线性方程组的系数行列式,则这个方程组有无穷多解,且系数列向量是线性相关的.

⒌向量组的极大线性无关组是.

⒍向量组的秩与矩阵的秩相同 .

⒎设线性方程组中有5个未知量,且秩,则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个.

⒏设线性方程组有解,是它的一个特解,且的基础解系为,则的通解为.

9.若是a的特征值,则是方程的根.

10.若矩阵a满足 ,则称a为正交矩阵.

三)解答题(第1小题9分,其余每小题11分)

1.用消元法解线性方程组。

解: 方程组解为。

.设有线性方程组。

为何值时,方程组有唯一解?或有无穷多解?

解:]当且时,,方程组有唯一解。

当时,,方程组有无穷多解。

3.判断向量能否由向量组线性表出,若能,写出一种表出方式.其中。

解:向量能否由向量组线性表出,当且仅当方程组有解。

这里 方程组无解。

不能由向量线性表出。

4.计算下列向量组的秩,并且(1)判断该向量组是否线性相关

解: 该向量组线性相关。

5.求齐次线性方程组。

的一个基础解系.

解:方程组的一般解为令,得基础解系

6.求下列线性方程组的全部解.

解: 方程组一般解为。

令,,这里,为任意常数,得方程组通解。

.试证:任一4维向量都可由向量组,

线性表示,且表示方式唯一,写出这种表示方式.

证明: 任一4维向量可唯一表示为。

试证:线性方程组有解时,它有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组只有零解.

证明:设为含个未知量的线性方程组。

该方程组有解,即。

从而有唯一解当且仅当。

而相应齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是。

有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组只有零解。

9.设是可逆矩阵a的特征值,且,试证:是矩阵的特征值.

证明: 是可逆矩阵a的特征值。

存在向量,使。

即是矩阵的特征值。

10.用配方法将二次型化为标准型.

解:令,,,

即。则将二次型化为标准型

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