第一章行列式。
线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。行列式是由研究线性方程组产生的，它是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。
本章的教学基本要求：了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的方法，会计算简单的n阶行列式。理解和掌握克拉默（cramer）法则。
本章的重点及难点：利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组。
1 二阶、三阶行列式。
一、内容提要。
1．二阶行列式的定义。
其中称为行列式的元素，的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j列。
二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则得到，即：
其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。
2．三阶行列式的定义。
三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示：
其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式。
二、例题分析。
例1 求解二元线性方程组。
解： 由于系数行列式
所以方程组有唯一解为。
例2 计算行列式
解 例3 计算行列式。
解： 由对角线法则有： ；
特别地。三、小结。
对角线法则只适用与二阶与三阶行列式的计算。
由例3得结论：
1）上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积。
2）对角行列式等于主对角线上元素的乘积。
2 全排列及其逆序数。
一、内容提要。
排列把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列，简称排列。
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用表示。
逆序在一个排列中，若，则称这两个数组成一个逆序。
逆序数排列中，所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为。
排列中，考虑元素，如果比大的且排在前面的元素有个，则称元素的逆序数是。记为。
奇排列逆序数为奇数的排列称为奇排列。
偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列。
特别地，标准排列1，2，··n的逆序数。
规定，标准排列是偶排列。
二、例题分析。
排列中，考虑比大，且排在前面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即。
前面比大的数的个数）+（前面比大的数的个数）+
·· 前面比大的数的个数）
同样，考虑比小，且排在后面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即。
后面比小的数的个数）+（后面比小的数的个数）+
·· 后面比小的数的个数）。
例4 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）5 3 2 1 4； （2）n (n–1) ·2 1； （3）(2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) ·k+1) k。
解：（1）5 3 2 1 4
因此，。此排列为奇排列。
2）n (n–1) ·2 1
因此，。当时，排列为偶排列；
当时，排列为奇排列。
3）(2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) ·k+1) k， ，因此，
当k为偶数时，排列为偶排列；
当k为奇数时，排列为奇排列。
例5 设的逆序数为k，问排列的逆序数是多少？
解：若在排列中，后面比小的数共有个，则在排列中，前面的数共有个，前面比大的数共有个。由已知有。
所以排列的逆序数为。
三、小结。求排列的逆序数的方法：
1）（前面比大的数的个数）+（前面比大的数的个数）+
·· 前面比大的数的个数）
2）（后面比小的数的个数）+（后面比小的数的个数）+
·· 后面比小的数的个数）。
3 n阶行列式的定义。
一、内容提要。
由n2个元素组成的记号。
称为n阶行列式。其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，各项的符号是：当这一项中的n个元素的行标排成标准排列后，若对应的列标构成的排列为偶数，则取正号；若对应的列标构成的排列为奇数，则取负号，即。
行列式简记为。
一阶行列式为。
n阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二、例题分析。
例6 判别和是否为六阶行列式中的项。
分析：判别是否为n阶行列式中的项，要考虑：
1）n个元素是否位于不同行，不同列；
2）确定其符号。
解：不是六阶行列式中的项。
这是因为，与都位于第6列。
是六阶行列式中的项。
首先，中的6个元素位于不同行，不同列；再有，确定其符号：，因此，应带负号。
n阶行列式的展开式是n!项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积。因此，对于含零元素较多的行列式，可直接用定义计算。
但对于一般性的行列式，常用后面将要学到的性质与定理进行简化计算。
对于含零元素较多的行列式，用定义计算时，只需求出所有非零项，并进行代数和即可。
例7 计算行列式 。
解：这是一个4阶行列式。其展开式中项的一般形式为。
若，则，从而。所以，只有才可能不为零。
同理，要使，必须，，。
即行列式的展开式中不为零的项仅为。因此，例8 计算行列式。
解：这是一个1998阶行列式。
显然，在所有取自不同行不同列的1998个元素乘积中，只有。
因此， 例9 利用行列式定义，证明。
证：由行列式定义知其值是n!项的代数和，每项是不同行不同列的n个元素的积。
上述行列式中，除主对角元素乘积一项是奇数1外，其余各项（共n! -1项）的每项中至少有一个2，故均是偶数。n!
–1个偶数之代数和仍是偶数。再和1相加，不可能是零。因此。
三、小结。1．行列式的实质是一种特定的算式，计算结果是一个数；
2．n阶行列式的展开式是n!项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积；
3．项前面的符号为；
4．对角线法则不适用于四阶及四阶以上的行列式展开式；
5．几个常用行列式结果：
4 对换。
一、内容提要。
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。
定理1 一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。
定理2 n 阶行列式也可定义为。
二、小结。行列式的两种定义，行列式更一般的定义为。
其中 。 5 行列式的性质。
一、 内容提要。
1．性质。性质1 行列式与它的转置行列式相等，即。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
以表示行列式的第i行，以表示第i列。
互换第i行与第j行，记作；互换第i列与第j列，记作。
推论如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零。
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘以此行列式。即。或。
第i行乘以k，记作；第i列乘以k，记作。
推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
第i行提出公因子k，记作；第i列提出公因子k，记作。
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
性质5 如果行列式的某一列（行）元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和：
则d等于下列两个行列式之和。
如果第i行的元素都是两数之和：
则d等于下列两个行列式之和。
性质6 把行列式的某一列（行）各元素乘以同一数，然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
例如，以数k乘第i列加到第j列（记作）有。
以数k乘第i行加到第j行（记作）有。
2．常用结论：
如果 ，，则，
常记为。二、例题分析。
例10 计算上三角行列式（主对角线以下元素全为0）
解： 利用性质1，得。
例11 计算 。
解 。 第。
二、三行元素成比例）
例12 计算 。
解：由性质5有
右边第一个行列式中，第一列乘加到第列；在第二个行列式的第一列中提出得。
例13 计算 。
分析：首先，利用性质将行列式化为型，再利用求出结果。解：
三、小结。1）行列式的六个性质、两个推论是计算行列式的理论保证，要尽快熟练掌握它们。
6 行列式按行（列）展开。
一、内容提要。
在n阶行列式中，划去所在的第i行和第j列的元素，剩余的元素按原有次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为。
称为的代数余子式。
定理3 n 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即。
或。推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素代数余子式乘积之和等于。
零。即 ，或。
综合定理及推论，有展开式。
线性代数作业第一章
第一章行列式。1.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数 2.填空题 1 排列 的逆序数 它是排列 2 排列 的逆序数 它是排列 3 1 9九个数的排列1274 i 56 k 9为奇排列，则ik4 五阶行列式中含有因子的正项为。5 一个阶行列式中零元素比还多，则 6 一个阶行列式的值为，若...
线性代数作业 第二章
第二章矩阵。一 温习巩固 1 设，求 1 2 2 设，求 1 2 3 3 已知，设，求 1 用矩阵表示与，与的关系 2 用矩阵乘法求与的关系。4 已知 1 计算及。2 对于任意矩阵是否有成立，成立的条件是什么？3 对于任意矩阵展开，5 求下列矩阵的伴随矩阵，并计算及。6 求下列矩阵的逆矩阵 1 其中...
线性代数作业第二章
第二章矩阵及其运算。1.已知两个线性变换。1 分别写出它们所对应的矩阵 2 求从到的线性变换 2.计算下列乘积 3.设，求 其中是正整数 4.设，矩阵满足，计算行列式 5.设是实方阵，证明 若，则 6.求下列方阵的逆矩阵 6 已知，求 7.设是阶可逆方阵，是的伴随矩阵，则下列结论中正确，并证明你的结...