一、找规律问题。
数学中有许多的规律，发现并掌握这些规律能够帮助我们解决许多数学问题，因此，我们应注意观察、注意发现、注意积累。
例1. 已知数列1，2，4，8，16，32……，求这个数列中第10项是多少。
分析与解答：通过仔细观察，我们发现，第二项是第一项的2倍，第三项是第二项的2倍，第四项是第三项的2倍，……说明这个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项的2倍，倍数相同，我们把这样的数列叫做等比数列。
我们来观察每一项与第一项的关系：
所以，这个数列中第10项是：
从这个数列中我们可以发现等比数列的一个规律：表示首项，q表示相同的倍数即公比，表示末项，n表示项数，。
练习：1、已知等比数列3，9，27，81……，求这个数列的第7项是多少？（2187）
2、一个数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5……，那么1997第1次出现在第几项？ （第1993007项）
例2. 观察下面左、右两列等式的关系（先计算）
计算：分析与解答： 通过计算，我们发现这样的规律：
由此规律得出：
例3、 求和：
此题如果只求和的末三位数字是几，该怎样求？
例4、 的积中有多少个奇数字，多少个偶数字？
思路分析：如此大的因数，不可能按一般方法列竖式去乘，一定存在着某些规律，使问题得到简化。
不难发现：积中有数字，其中1和8的个数相同，比左边因数中1的个数少1，积中0和9只有1个。
所以。积中有700个奇数字，有700个偶数字。
例5、 观察下面的数表（横排为行）
根据前5行表现出的规律，说明这个分数位于由上而下的第几行？在这行中，它位于由左向右的第几个？
分析与解答：通过观察，发现这样的规律：第一行分子与分母的和是2，第二行分子与分母的和是3，第三行分子与分母的和都是4，……即每行各分数分子与分母的和等于行数加1。
因此这个分数所在行数是：，每一行中分数的分母正好是这个分数从左到右的序号。所以在数表中第3939行的第1949个数。
练习：根据以上几行分数所表示的规律，那么在自上而下的第几行？在这一行中位于自左至右的第几个数？（答案：在自上而下的第352行，在这一行中位于自左至右的第219个）
例6、 计算：
分析与解答：
可以归纳出：
运用这个规律，采用拆项的方法，进行计算。
此题用到拆分和加、减抵消的方法，使计算简便。
变式练习：计算。
二、数图形个数问题。
数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。由于图形千变万化，错综复杂，所以要想准确地数出其中包含的某种图形的个数，还真需要动点脑筋。要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。
例1数出下图中共有多少条线段。
分析与解：我们可以按照线段的左端点的位置分为a，b，c三类。如下图所示，以a为左端点的线段有3条，以b为左端点的线段有2条，以c为左端点的线段有1条。
所以共有3＋2＋1＝6(条)。
我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。如下图所示，ab，bc，cd是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条。所以，共有3＋2＋1＝6(条)。
由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。
例2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？
分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形)，所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。由前面数线段的方法知，图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。
图(2)中有三角形1＋2＋3=6(个)。图(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(个)。图(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。
图(5)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＋6=21(个)。
例3下列图形中各有多少个三角形？
分析与解：(1)只需分别求出以ab，ed为底边的三角形中各有多少个三角形。以ab为底边的三角形abc中，有三角形1＋2＋3＝6(个)。
以ed为底边的三角形cde中，有三角形1＋2＋3＝6(个)。所以共有三角形6＋6=12(个)。这是以底边为标准来分类计算的方法。
它的好处是可以借助“求底边线段数”而得出三角形的个数。我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有6个小块。
由1个小块组成的三角形有3个；由2个小块组成的三角形有5个；由3个小块组成的三角形有1个；由4个小块组成的三角形有2个；由6个小块组成的三角形有1个。所以，共有三角形3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。(2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为分类标准来计算：
由1个小块组成的三角形有4个；由2个小块组成的三角形有6个；由3个小块组成的三角形有2个；由4个小块组成的三角形有2个；由6个小块组成的三角形有1个。所以，共有三角形4＋6＋2＋2＋1＝15(个)。
例4右图中有多少个三角形？
解：假设每一个最小三角形的边长为1。按边的长度来分类计算三角形的个数。
边长为1的三角形，从上到下一层一层地数，有1＋3＋5＋7=16(个)；边长为2的三角形(注意，有一个尖朝下的三角形)有1＋2＋3＋1=7(个)；边长为3的三角形有1＋2＝3(个)；边长为4的三角形有1个。所以，共有三角形16＋7＋3＋1＝27(个)。
例5数出下页左上图中锐角的个数。
分析与解：在图中加一条虚线，如下页右上图。容。
易发现，所要数的每个角都对应一个三角形(这个角与它所截的虚线段构成的三角形)，这就回到例2，从而回到例1的问题，即所求锐角的个数，就等于从o点引出的6条射线将虚线截得的线段的条数。虚线上线段的条数有1+2+3+4+5=15(条)。所以图中共有15个锐角。
例6在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？
解：按包含的小块分类计数。包含1小块的有1个；包含2小块的有4个；包含3小块的有4个；包含4小块的有7个；包含5小块的有2个；包含6小块的有6个；包含8小块的有4个；包含9小块的有3个；包含10小块的有2个；包含12小块的有4个；包含15小块的有2个。
所以共有1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(个)。练习。
1.下列图形中各有多少条线段？
2.下列图形中各有多少个三角形？
3.下列图形中，各有多少个小于180°的角？
4.下列图形中各有多少个三角形？
5.下列图形中各有多少个长方形？
6.下列图形中，包含“*”号的三角形或长方形各有多少？
7.下列图形中，不含“*”号的三角形或长方形各有几个？
三、抽屉原理的应用。
1、抽屉原理定义。
抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。
把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。
原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。
原理2：把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素。其中k＝m/n（当n能整除m时）或k＝〔m/n〕＋1（当n不能整除m时），这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。
原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
原理2也可以变为：把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至多要有k个元素。其中k＝〔m/n〕，这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。
2、应用抽屉原理解题的步骤。
第一步：分析题意。分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。
第二步：制造抽屉。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。
根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。
第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。
利用上述原理容易证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”因为任一整数除以3时余数只有三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。
3、应用抽屉原理解题例举：
例1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？
解：把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。
例2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？
解：点数为1(a(j(q(k)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。
例3．11名学生到老师家借书，老师是书房中有ａ、ｂ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。
证明：若学生只借一本书，则不同的类型有ａ、ｂ四种；
若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有ab、ac、ad、bc、bd、cd六种。共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。
例4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜试证明：一定有两个运动员积分相同。
证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。
例5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？
解题关键：利用抽屉原理２。
解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。
以这９种配组方式制造９个抽屉，将这50个同学看作苹果50÷9＝5……5由抽屉原理２k＝［m/n］＋１可得，至少有６人，他们所拿的球类是完全一致的。
例6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为人。
解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人）；因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人。所以女生有9人，男生有55－9＝46（人）
抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。
2023年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”
这个问题可以用如下方法简单明了地证出：
在平面上用6个点a、b、c、d、e、f分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑a点与其余各点间的5条连线ab，ac，..
af，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设ab，ac，ad同为红色。如果bc，bd，cd3条连线中有一条（不妨设为bc）也为红色，那么三角形abc即一个红色三角形，a、b、c代表的3个人以前彼此相识：
如果bc、bd、cd3条连线全为蓝色，那么三角形bcd即一个蓝色三角形，b、c、d代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。
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