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四、函数的性质（一）
一．选择题（共12小题）
1．若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞0）内有解，则y=f（x）的图象是（ ）
a． b． c． d．
2．函数y=，x∈（m，n]最小值为0，则m的取值范围是（ ）
a．（1，2） b．（﹣1，2） c．[1，2） d．[﹣1，2）
3．已知函数f（x）满足f（x）=f（）且当x∈[，1]时，f（x）=lnx，若当x∈时，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，则实数a的取值范围是（ ）
a．[﹣0] b．[﹣lnπ，0] c．[﹣d．[﹣
4．函数的零点所在的区间是（ ）
a． b．（1，2） c．（2，e） d．（e，3）
5．已知x1，x2是方程e﹣x+2=|lnx|的两个解，则（ ）
a．0＜x1x2＜ b．＜x1x2＜1 c．1＜x1x2＜e d．x1x2＞e
6．如果函数f（x）=ax2+2x﹣3在区间（﹣∞4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
7．函数的定义域是（ ）
a．[﹣bc．[﹣3，﹣1）∪（1，3] d
8．函数f（x）=（x﹣3）ex的单调递增区间是（ ）
a．（0，3） b．（1，4） c．（2，+∞d．（﹣2）
9．若定义在r上的函数为奇函数，则实数a的值为（ ）a．﹣1 b．0 c．1 d．2
10．已知f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）等于（ ）
a．2x+1 b．2x﹣1 c．2x﹣3 d．2x+7
11．已知f（x）=是（﹣∞上的增函数，那么实数a的取值范围是（ ）
a．（0，3） b．（1，3） c．（1，+∞d．
12．函数f（x）定义在实数集r上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时f（x）=log2x，则有（ ）
a．f（）＜f（2）＜f（） b．f（）＜f（2）＜f（） c．f（）＜f（）＜f（2） d．f（2）＜f（）＜f（
二．填空题（共4小题）
13．已知函数（2x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y=（log2x）的定义域为 ．
14．设f（x）=，则f（﹣5）+f（﹣4）+…f（0）+…f（5）+f（6）的值为 ．
15．设函数f（x）=（x+1）（2x+3a）为偶函数，则a= ．
16．已知函数f（x）=有3个零点，则实数a的取值范围是 ．
三．解答题（共2小题）
17．已知函数f（x）=，g（x）=af（x）﹣|x﹣1|．
ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞恒成立，求实数b的取值范围；
ⅱ）当a=1时，求g（x）的最大值．
18．已知函数f（x）=9x﹣2a3x+3：
1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；
2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；
3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．
答案：四、函数的性质一。
选择题（共12小题）
1．【解答】解：a：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；
b：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；
c：与直线y=2的在区间（0，+∞上有交点，不符合题意，故不正确；
d：与直线y=2在（﹣∞0）上有交点，故正确．故选d．
2．【解答】解：函数y===1，且在x∈（﹣1，+∞时，函数y是单调递减函数，在x=2时，y取得最小值0；根据题意x∈（m，n]时y的最小值为0，∴m的取值范围是﹣1≤m＜2．故选：d．
3．【解答】解：设x∈[1，π]则∈[，1]，因为f（x）=f（）且当x∈[，1]时，f（x）=lnx，所以f（x）=f（）=ln=﹣lnx，则f（x）=，在坐标系中画出函数f（x）的图象如图：
因为函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有交点，所以直线y=ax与函数f（x）的图象有交点，由图得，直线y=ax与y=f（x）的图象相交于点（，﹣lnπ），即有﹣lnπ=，解得a=﹣πlnπ．由图象可得，实数a的取值范围是：[﹣lnπ，0]故选：b．
4．【解答】解：∵函数（x＞0），y′=+1+＞0，函数y=lnx+x﹣﹣2在定义域（0，+∞上是单调增函数；
又x=2时，y=ln2+2﹣﹣2=ln2﹣＜0，x=e时，y=lne+e﹣﹣2=+e﹣﹣2＞0，因此函数的零点在（2，e）内．故选：c．
5．【解答】解：设y=e﹣x+2，y=|lnx|，分别作出两个函数的图象如图：不妨设x1＜x2，则由图象知0＜x1＜1，x2＞1，则+2=|lnx1|=﹣lnx1，+2=|lnx2|=lnx2，两式相减得﹣=lnx2+lnx1=ln（x1x2）∵y=e﹣x为减函数，＜，即﹣=ln（x1x2）＜0，则0＜x1x2＜1，2＜lnx2＜﹣lnx1＜3，∴﹣3＜lnx1＜﹣2，可得＜x1＜，e2＜x2＜e3，则e2＜x1x2＜e3，即＜x1x2＜e，∵0＜x1x2＜1，综上＜x1x2＜1；故选：
b．6．【解答】解：（1）当a=0时，函数为一次函数f（x）=2x﹣3为递增函数，2）当a＞0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间（﹣∞4）上不可能是单调递增的，故不符合；
3）当a＜0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴，解得a，又a＜0，故．综合得，故选d．
7．【解答】解：函数，∴（x2﹣2）≥0，∴0＜x2﹣2≤1，∴2＜x2≤3，解得﹣≤x＜﹣或＜x≤；
函数y的定义域是故选：d
8．【解答】解：函数f（x）=（x﹣3）ex，∴f′（x）=ex+（x﹣3）ex=（x﹣2）ex，令f′（x）=0，解得x=2；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，∴f（x）的单调增区间是（2，+∞故选：c．
9．【解答】解：因为函数是定义在r上的奇函数，所以f（0）=0，即=0，所以a=1；故选c．
10．【解答】解：∵f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），g（x+2）=2x+3=2（x+2）﹣1，∴g（x）=2x+3=2x﹣1故选b
11．【解答】解：由题意得：
解得：≤a＜3，故选：d．
12．【解答】解：∵x≥1时f（x）=log2x，∴f（x）在[1，+∞上单调递增，∵f（2﹣x）=f（x），∴f（）=f（2﹣）=f（），f（）=f（2﹣）=f（），又1＜＜2，∴f（）＜f（）＜f（2），即f（）＜f（）＜f（2），故选c．
二．填空题（共4小题）
13．【解答】解：∵函数（2x）的定义域为[﹣1，1]，﹣1≤x≤1，∴．在函数y=（log2x）中，∴．故答案为：
14．【解答】解：令x+y=1，则f（x）+f（y）=+
故f（﹣5）+f（﹣4）+…f（0）+…f（5）+f（6）=6×=3故应填3
15．【解答】解：函数f（x）=（x+1）（2x+3a）=2x2+（3a+2）x+3a
函数f（x）=（x+1）（2x+3a）为偶函数，2x2﹣（3a+2）x+3a=2x2+（3a+2）x+3a∴3a+2=0∴a=﹣，故答案为：
16．【解答】解：∵函数f（x）=有3个零点，a＞0 且 y=ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，，解得 ＜a＜1，故答案为：（，1）．
三．解答题（共2小题）
17．【解答】解：（ⅰ当a=0时，g（x）=﹣x﹣1|，∴x﹣1|≤|x﹣2|+b，∴﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1，∴﹣b≤1，∴b≥﹣1…（5分）
ⅱ）当a=1时，…（6分）
可知g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞单调递减 …（8分）
g（x）max=g（1）=1．…（10分）
18．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．
当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，φ（t）∈[1），φ3）]，函数f（x）的值域是：[2，6]；
ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，ymin=h（a）=φ
当≤a≤3时，ymin=h（a）=φa）=3﹣a2；
当a＞3时，ymin=h（a）=φ3）=12﹣6a．
故h（a）=；
ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，函数h（a）在（3，+∞上是减函数．
又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．
满足题意的m，n不存在．
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