地球科学与技术学院地球探测与信息技术研11—6班孙殿强s1***
实验2.1迭代法、初始值与收敛性。
实验目的：初步认识非线性问题的迭代法与线性问题的迭代法的差别，**迭代法及初始值与迭代收敛性的关系。
问题提出：迭代法是求解非线性方程（组）的基本方法，与线性方程的情况一样，其构造方法多种多样，但关键是怎样才能使迭代收敛且有较快的收敛速度。
实验内容：考虑一个简单的代数方程。
12=x x 针对上述方程，可以构造多种迭代法，如1,11,11121+=+n n n
n n n x x x x x x 等。在实轴上取初始值0x ，分别用以上迭代法做实验，记录各算法的迭代过程。
实验要求：1）取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同的初始值，反复实验。
请读者自行设计一种比较形象的记录方式（如利用matlab 的图形功能），分析3种迭代法的收敛性与初始值选取的关系。
2）对3种迭代法中的某一个，取不同的初始值进行迭代，结果如何？试分析不同初始值的迭代结果是否有差异。迭代法程序如下（matlab 编程处理）：
function [x]=diedai(g,x0,tol,nmax)
g 表示给定的迭代函数。
x0表示给定的初始值。
tol 表示允许的误差。
nmax 表示最大允许迭代次数。
x 是输出的迭代值。
x(1)=x0;
for i=2:nmax
x(i)=feval('g',x(i-1));
i;if (abs(x(i)-x(i-1))break ;
endif(i==nmax)
disp('the method failed after nmax iterations');
endend
x分别编辑如下格式迭代函数：
1）function y=g(x)
y=x^2-1;
2）function y=g(x)
y=1+1./x;
3）function y=g(x)
y=sqrt(x+1);
在matlab中运行如下**：
fplot('[x.^2-x-1]',23]);grid
可得如下图形：
从图中可以得知方程的两个解分别位于【-1，-0.5】及【1.5，2】这两个区间内。实验时分别选取初始值为代入。
1）迭代格式1，a.选取处置为1.
diedai('g',1,10^(-5),20)
the method failed after nmax iterations
x=columns1through16
columns17through20
b.选取初值为1.5代入。
diedai('g',1.5,10^(-5),20)
the method failed after nmax iterations
x=columns1through9
columns10through18
columns19through20
c.选取初值为5代入。
diedai('g',5,10^(-5),20)
the method failed after nmax iterations
x=1.0e+176*
columns1through9
columns10through18
inf inf inf inf inf inf inf inf inf
columns19through20
inf inf
从以上迭代过程可见采用第一种迭代格式不满足收敛要求。
2）迭代格式2
a.选取初值为1代入。
diedai('g',1,10^(-5),20)i=
x=columns1through9
columns10through15
b.选取初值为1.5代入。
diedai('g',1.5,10^(-5),20)i=
x=columns1through9
columns10through13
c.选取初值为5代入。
diedai('g',5,10^(-5),20)i=
x=columns1through9
columns10through15
3）采用迭代格式3处理。
a.选取初值为1代入。
diedai('g',1,10^(-5),20)i=
x=columns1through9
columns10through12
b.选取初值为1.5代入。
diedai('g',1.5,10^(-5),20)i=
x=columns1through9
column10
c.选取初值为5代入。
diedai('g',5,10^(-5),20)i=
x=columns1through9
columns10through13
综合观察发现迭代格式3的收敛性较好，收敛速度较快，而迭代格式1收敛性很差，不能满足要求。
综合比较个方法及初始值选取对迭代收敛性影响的示意图如下：
3在初始值选取为1.5时的收敛性好于另外两个初始值。
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