高二数学2 2经典错题本

18. 已知定义在r上的函数f(x)＝x2(ax－3)，其中a为常数。(ⅰ若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(ⅱ若函数f(x)在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围。

(ⅰ)a＝2 (ⅱa≥－2.

解析：ⅰ)f(x)＝ax3－3x，f??(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),x＝1是f(x)的一个极值点，∴f??(1)＝0，∴a＝2；

ⅱ)①当a＝0时，f(x)＝－3x2在区间（－1，0）上是增函数，∴a＝0符合题意；

当a≠0时，f??(x)＝3ax(x－)，由f??(x)＝0，得x＝0，x＝

当a＞0时，对任意x∈(－1，0)，f??(x)＞0，∴a＞0符合题意；

当a＜0时，当x∈(，0)时，由f??(x)＞0，得≤－1，∴－2≤a＜0符合题意；

综上所述，a≥－2.

18. 设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)，若对所有的x≥0都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围。

解析：解法1：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，对函数g(x)求导数：

g′(x)=ln(x+1)+1-a，令g′(x)=0，解得x=ea-1-1.

1)当a≤1时，对所有x＞0,g′(x)＞0,所以g(x)在［0，+∞上是增函数。

又g(0)=0，所以对x≥0，有g(x)≥g(0),即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax.

2)当a＞1时，对于0＜x＜ea-1-1，g′(x)＜0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数。

又g(0)=0，所以对0＜x＜ea-1-1，有。

g(x)＜g(0)，即f(x)＜ax.

所以当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立。

综上a的取值范围是(-∞1］.

解法2：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立。

对g(x)求导数得g′(x)=ln(x+1)+1-a,令g′(x)=0，解得x=ea-1-1,当x＞ea-1-1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当-1＜x＜ea-1-1时，g′(x)＜0，g(x)为减函数。

要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea-1-1≤0.

由此得a≤1，即a的取值范围是(-∞1].

20. 已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.（ⅰ求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；（是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？

若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。

(ⅰ)f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈r) (见解析。

解析：i）∵f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0，5)，∴可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)，f(x)在区间[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a，由已知，得6a＝12，∴a＝2，∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈r).

ii）方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0，设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h??(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)，当x∈(0，)时，h??(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(，时，h??

(x)＞0，h(x)是增函数，h(3)＝1＞0，h()＝0，h(4)＝5＞0，∴方程h(x)＝0在区间(3，)、4)内分别有惟一实数根，而在(0，3)，(4，＋∞内没有实数根，所以存在惟一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不同的实数根。

21. 已知函数f(x)＝logax＋2x和g(x)＝2loga(2x＋t－2)＋2x(a＞0，a≠1，t∈r)的图象在x＝2处的切线互相平行。(ⅰ求t的值；(ⅱ设f(x)＝g(x)－f(x)，当x∈[1，4]时，f(x)≥2恒成立，求a的取值范围。

(ⅰ)t＝6. (1＜a≤4

解析：ⅰ)f??(x)＝logae＋2，g??

(x)＝logae＋2，函数f(x)和g(x)的图象在x＝2处的切线互相平行，f??(2)＝g??(2)，∴logae＝logae，t＝6.

ⅱ)∵t＝6，∴f(x)＝g(x)－f(x)＝2loga(2x＋4)－logax＝loga，x∈[1，4]，令h(x)＝＝4x＋，x∈[1，4]，∴h??(x)＝4－＝，x∈[1，4]，当1≤x＜2时，h??(x)＜0，当2＜x≤4时，h??

(x)＞0，h(x)在[1，2)是单调减函数，在(2，4]是单调增函数，h??(x)min＝h(2)＝32，h??(x)max＝h(1)＝h(4)＝36，当0＜a＜1时，有f(x) min＝loga36，当a＞1时，有f(x) max＝loga32.

当x∈[1，4]时，f(x)≥2恒成立，∴f(x) min≥2，满足条件的a的值满足下列不等式组 ①，或 ②

不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1＜a≤4，综上所述，满足条件的的取值范围是：1＜a≤4.