圆锥曲线复习。
班级姓名。一、 知识梳理。
1.椭圆的图象和性质：
2. 双曲线的图象与性质。
二．例题分析。
类型一：概念与基本性质。
例1：（1）过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆的标准方程为。
2）椭圆两焦点为 ， p在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ b ）
a. b . c . d .
3）．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( a )
a.－＝1 b.－＝1
c.－＝1 d.－＝1
4）椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于( d )
a. b．2
c．4 d.
5）．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( a )
a．2 b．2
c. d．1
6）如图：从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴的端点的连线∥，则该椭圆的离心率等于。
7）若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是__(0)
8）．若点o和点f分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
a．2 b．3c．6d．8
解析：选c.由题意，f(－1,0)，设点p(x0，y0)，则有＋＝1，所以y＝3(1－)(2≤x0≤2)，因为＝(x0＋1，y0)，＝x0，y0)，所以。
＝x0(x0＋1)＋y＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值为6.
例2：4．设p是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，f1，f2是其左、右焦点．已知∠f1pf2＝60°，求椭圆离心率的取值范围．
解：法一：根据椭圆的定义，有|pf1|＋|pf2|＝2a，①
在△f1pf2中，由余弦定理得。
cos 60°＝，即|pf1|2＋|pf2|2－4c2＝|pf1||pf2|.②
式平方得|pf1|2＋|pf2|2＋2|pf1||pf2|＝4a2.③
由②③得|pf1||pf2|＝.
由①和④运用基本不等式，得|pf1||pf2|≤(2，即≤a2.
由b2＝a2－c2，故(a2－c2)≤a2，解得e＝≥.
又因e<1，所以该椭圆离心率的取值范围为[，1)．
类型二：直线与圆锥曲线的位置关系。
例3．（1）直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是( )
ab．(，cd．(－
解析：选c.由，消去y，得3x2＋4x－2＝0，设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，中点坐标为(x中，y中)，则x1＋x2＝－，x中 ＝－
从而y中＝x中＋1＝－＋1＝，中点坐标为(－，
2）椭圆＋y2＝1被直线x－y＋1＝0 所截得的弦长|ab
解析：由得交点为(0,1)，则|ab|＝＝
答案：3）f1，f2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，过f2作倾斜角为的弦ab，则△f1ab的面积为___
解析：不妨设椭圆的右焦点为f2(1,0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则直线ab的方程为y＝x－1.
由得3x2－4x＝0，x1＝0，x2＝.
根据弦长公式得。
ab|＝|x1－x2|＝.
椭圆的左焦点为f1(－1,0)到直线ab的距离。
d＝＝，s△f1ab＝d|ab|＝×
答案：4）椭圆＋y2＝1上的点到直线x－y＋6＝0的距离的最小值为。
d＝＝2.例4．已知双曲线c：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且＝.
1)求双曲线c的方程；
2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线c交于不同的两点a，b，且线段ab的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
解：(1)由题意得，解得。
所以b2＝c2－a2＝2.
所以双曲线c的方程为x2－＝1.
2)设a，b两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段ab的中点为m(x0，y0)．
由，x2－2mx－m2－2＝0(判别式δ>0)．
所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m.
因为点m(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5.
故m＝±1.
例5. 已知椭圆＋＝1过点m(2,1)，o为坐标原点，平行于om的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)．
1)当m＝3时，判断直线l与椭圆的位置关系；
2)当m＝3时，p为椭圆上的动点，求点p到直线l距离的最小值．
解：(1)由题可知kl＝kom＝，当m＝3时，直线l的方程为y＝x＋3.由得x2＋6x＋14＝0.
δ＝36－4×14＝－20<0，原方程组无解，即直线l和椭圆无交点，此时直线l和椭圆相离．
2)设直线a与直线l平行，且直线a与椭圆相切，设直线a的方程为y＝x＋b，联立得x2＋2bx＋2b2－4＝0，δ＝2b)2－4(2b2－4)＝0，解得b＝±2，直线a的方程为y＝x±2.
所求p到直线l的最小距离等于直线l到直线y＝x＋2的距离d＝＝.
例6．在平面直角坐标系xoy中，点p到两点(0，)、0，－)的距离之和等于4.设点p的轨迹为c.
1)写出c的方程；
2)设直线y＝kx＋1与c交于a、b两点，k为何值时⊥？此时||的值是多少？
解：(1)设p(x，y)，由椭圆定义可知，点p的轨迹c是以(0，－)0，)为焦点，长半轴为a＝2的椭圆，它的短半轴b＝＝1，故曲线c的方程为x2＋＝1.
2)由。消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，＝(2k)2－4×(k2＋4)×(3)＝16(k2＋3)>0，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
由⊥，得x1x2＋y1y2＝0.
而y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－－1＝.
由＝0，得k＝±，此时⊥.
当k＝±时，x1＋x2＝，x1x2＝－.
|＝＝而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2
＋4×＝，所以||＝
例7.过点的直线被双曲线截得的弦mn的中点恰好为p,求：
1） 直线mn的方程；
2） 弦mn的长。
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