高考数学模拟题。
一、填空题（每小题5分，共14小题，满分70分）
1．已知复数满足，则。
答：.2．已知a、b均为集合u=的子集，且a∩b=, 集合b的补集与集合a的交集为， 则集合a
答：.3. 下列表中列出了部分对数值的表示：
这里a, b, c为给定的实数。 则由表中可以推得a的数值为。
答：1.解：由表可知，，所以。
4. 盒子中有大小相同的3只白球，2只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是。
答：.5．直线截圆所得的弦长为。
答：.6．数列的前n项和(， n*)，第k项满足则k=答：6.
7．设抛物线的焦点为f，点。 若线段fa的中点b在抛物线上，则p的值为。
答：.8．已知， 且，则的值为。
答：0.9．已知平面向量a与b=(x, y) 的夹角是180°，且b, 则。答：3.
10．已知函数，，则使不等式成立的x的取值范围是。
答：. 函数是偶函数，则由其对称性仅需直接讨论的情形下的结果。
11．在△abc中，角a＞b是的填写：充要条件、或充分条件、或必要条件、或既不充分又不必要条件）．
答：充要条件。
12. 在中，内角的对边分别为，已知成等比数列，且，则的值为。
解：由、、和正弦定理得。
13．若直线是曲线的切线，则实数的值为。
答： 或。 注：其中一个正确给2分。
解： 设切点为，则由切点在该曲线上，得，从而，满足。
或。又切线的斜率为，在曲线上切点处的斜率亦为，故。
联合①与③，解得；联合②与③，解得。
14. 将n个正整数1, 2, 3, …n (n*)分成两组，使得每组中没有两个数的和是一个完全平方数，且这两组数中没有相同的数。 那么n的最大值是。
答：14.第一组中有1，则第二组中有3；从而第一组中有6，第二组中有10；进而第一组中有15，但1+15=16是平方数。因此，n不超过14.
又1,2，…，14可以分为两组：1,2,4,6,9,11,13; 3,5,7,8,10,12,14.
二、解答题（第15~17题每题14分，第18~20题每题16分，共90分）
15. 在三角形abc中，已知。
1）求的值；
2）求的值。
简解：（1）令，则由题设得 ，,且（否则角均为钝角，与题设不符）.
因为，所以可以推得，得 ，解得 （舍去），或 .
于是 ，，故7分。
2）由正弦定理得 .
由，及，得 .
同理求得 .
于是14分。
16. 在三棱锥中，侧面底面abc，底面abc为边长是1的正三角形，o 为棱ac的中点，m为棱bc的中点，n点在棱ab上。 设， ,
（1）求证：;
（2）求点o到面的距离。
简解：（1）在三角形中，由得，又，o为棱ac的中点，所以，且。
又侧面底面abc，且侧面与底面abc的交线为ac，所以底面abc， 从而， ,
因为o、m分别为棱ac、bc的中点，所以， .
因为，所以 ，从而。
故面，得6分。
（2）在三角形中，，，则有，.
在三角形中，，则有。
于是令点o到面的距离为h， ，又，得
14分。17. (本小题满分14分)
学校食堂定期向禾木米业以每吨3600元的**购买大米，每次购买大米需支付的运输费用a（元）与所购大米吨数x满足关系式。 已知食堂每天需食用大米1吨，假设食堂仓库储存大米的费用可以用库存每吨每天10元的方式计算得到，且食堂每次均在用完大米的当天购买。
1）问食堂每隔多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？
2）若购买量大，禾木米业推出**优惠措施，一次购买量不少于15吨时可享受九二折优惠。 已知食堂仓库储存大米最多可以达到15吨。问食堂能否接受此优惠措施？请说明理由。
解：（1）设每隔t天购进大米一次。
因为每天需大米1吨，所以一次购大米t吨，那么由题设库存费用为。
10 [t+(t－1)+(t－2)+…2+1]=5 t(t+1),运输费用为4分。
设平均每天所支出的总费用为y1，则，当且仅当时等号成立。
故食堂每隔10天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少，为3755元。
………8分。
（2）假设接受优惠条件，则至少每隔15天购买一次。
于是令每隔n (n≥15)天购买一次，平均每天支付费用为y2，那么。
10分。因为函数在区间上是增函数，所以当时取最小值，为。
由此可知，食堂可接受此优惠措施14分。
18. （本小题满分16分）
在直角坐标系中，已知椭圆：，以及圆：. 自椭圆上一点p，作的两条切线，切点为m、n，直线mn在x轴与y轴的截距分别为。
1）若点p在第一象限且横坐标为4，求过点m、n、p的圆的方程；
（2）对于异于椭圆上顶点的任意点p，代数式的值是否恒为常数，并说明理由。
简解：（1）由题设知 ，得。 又点p在第一象限，所以点p的坐标为3分。
由于m、n为的切点，则有，. 所以m、n在以op为直径的圆上，即过点m、n、p的圆是以op为直径的圆。
于是有 ，8分。
（2）设点，由（1）的解答过程可知，点m、n的坐标满足圆的方程。
即。又点m、n在上，点m、n的坐标也满足。
－①得 ，这就是直线的方程12分。
截距为 ， 得，.
又点在椭圆上，有 ，即。
16分。19．（本小题满分16分）
设为正实数，数列（），满足对于任意的正整数，总有成立。
1）已知，求数列的通项（用与表示出来）；
2）若正整数成等差数列，求证：.
简解：取，则由题设得 .
于是，由的任意性，得 ，，
于是上式相加得 ，即。
又，所以当时，；当时，.
故数列的通项为：时，，当时，（）6分。
2）由正整数成等差数列，得。
由（1）的推导可知，当时，，则有。
成立。……10分。
当时，，则有。
因为 ，且 ，所以。
当时，同理可证得。
故结论成立16分。
20．（本小题满分16分）
定义ch x，sh x (xr) ．
1）试用sh x，sh y，ch x，ch y表示ch (x+y)，sh (x+y)；
2）分别判断函数y =sh x，y = ch x的单调性和奇偶性，并说明理由；
3）设函数f (x)的定义域为r，若对于任意的实数x，y，函数f (x) 满足
且，证明。解：（1）因为。
所以．因为。
所以6分。（2）因为函数y =单调增，y =单调减，所以函数y =单调增．
从而知是增函数，且是奇函数．
因为函数是偶函数，所以此函数在r上不是单调函数12分。
3）令，则由，及。
得 ，且。于是原问题转化为证明在r上恒等于0.
假设不恒等于0，则有实数a，使得．
因此，对于任意的实数，，则有。
14分。但取， 则(*)不成立，矛盾．
所以恒等于0.
故16分。
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