株洲市二中2023年上学期高二年级入学考试。
理科数学试题。
命题：张耀华时量：120分钟分值：150分。
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，每小题只有一个正确答案）
1. 已知向量、满足|| 8，||6，且·=，则与的夹角为（ ）
abcd．
2. 在各项均为正数的数列中，对任意都有．若，则等于 （
a．256 b．510 c．512 d． 1024
3. 设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
a．1bcd．
4．在△abc中，，则的值为。
abcd．
5．已知为等差数列，，以表示的前项和，则使达到最大值的是。
a．21b．20c．19d．18
6.已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, 且满足||+6. 则点的轨迹是。
a．椭圆 b．双曲线 c．线段 d．射线。
7.已知实数x、y满足约束条件，则的最小值为 （
a． bcd．
8. “非空集合m不是p的子集”的充要条件是。
ab．c．且 d．
9．已知双曲线(的左、右焦点分别为f1、f2，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率为。
abc．2d．3
10.设函数是定义在上的奇函数，且当时，单调递减，若数列是等差数列，且，则的值 （
a．恒为正数 b．恒为负数 c．恒为0 d．可正可负。
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，请将答案填在答题卷上）
11．“”是“”成立的条件( 填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一).
12．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ．
13．已知函数，则。
14．如图，在直三棱柱中，,，侧棱，为的中点，则与平面所成角的正切值为。
15．已知，，，则在以为圆心，为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是 ．
三．解答题（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．(本小题满分12分)
设函数，其中向量＝(2,)，x∈r．
1）求的最大值与最小正周期；
2）在△abc中，a、b、c分别是a、b、c的对边，＝4，a＝，b＋c＝3，且b＞c，试求b、c的值．
17．(本小题满分12分)
如图，在正三棱柱中，点在边上，．
1）求证：平面；
2）设是上的一点，当的值为多少时，∥平面？请给出证明．
18．(本小题满分12分)
已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
1）求的标准方程；
2）过抛物线焦点的直线交抛物线于点、，且，试求直线的方程．
19．(本小题满分13分)
某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x∈)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．
1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
20．(本小题满分13分)
已知数列的前n项的和满足： (a为常数，且a≠0，a≠1)．
1）求的通项公式；
2）设，若数列为等比数列，求a的值；
3）在满足条件（2）的情形下，设＝2－，数列的前n项的和为．求证：．
21．(本小题满分13分)
已知a、b、c是椭圆上的三点，其中点a的坐标为，过椭圆的中心，且．
1）求椭圆的方程；
2）过点的直线（斜率存在时）与椭圆交于两点p、q，设d为椭圆与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围．
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