课标理数湖北卷] 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为___升．
课标理数湖北卷] 【解析】 设所构成的等差数列的首项为a1，公差为d，由得解得所以a5＝a1＋4d＝.
课标理数湖北卷] 已知数列的前n项和为sn，且满足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rsn(n∈n*，r∈r，r≠－1)．
1)求数列的通项公式；
2)若存在k∈n*，使得sk＋1，sk，sk＋2成等差数列，试判断：对于任意的m∈n*，且m≥2，am＋1·am·am＋2是否成等差数列，并证明你的结论．
课标理数湖北卷] 【解答】 (1)由已知an＋1＝rsn，可得an＋2＝rsn＋1，两式相减可得。
an＋2－an＋1＝r(sn＋1－sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1，又a2＝ra1＝ra，所以。
当r＝0时，数列为：a,0，…，0，…；
当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，所以an≠0(n∈n*)，于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得＝r＋1(n∈n*)，a2，a3，…，an，…成等比数列，当n≥2时，an＝r(r＋1)n－2a.
综上，数列的通项公式为an＝
2)对于任意的m∈n*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列，证明如下：
当r＝0时，由(1)知，an＝
对于任意的m∈n*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列；
当r≠0，r≠－1时，∵sk＋2＝sk＋ak＋1＋ak＋2，sk＋1＝sk＋ak＋1，
若存在k∈n*，使得sk＋1，sk，sk＋2成等差数列，则sk＋1＋sk＋2＝2sk，2sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2sk，即ak＋2＝－2ak＋1，由(1)知，a2，a3，…，an，…的公比r＋1＝－2，于是对于任意的m∈n*，且m≥2，am＋1＝－2am，从而am＋2＝4am，am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差数列．
综上，对于任意的m∈n*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．
课标文数课标全国卷] 已知等比数列中，a1＝，公比q＝.
1)sn为的前n项和，证明：sn＝；
2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的通项公式．
课标文数课标全国卷] 【解答】 (1)因为an＝×n－1＝，sn＝＝，所以sn＝.
2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
－(1＋2＋…＋n)
所以的通项公式为bn＝－.
大纲理数四川卷] 数列的首项为3，为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈n*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(
a．0 b．3 c．8 d．11
大纲理数四川卷] b 【解析】 由数列为等差数列，且b3＝－2，b10＝12可知数列公差d＝2，所以通项bn＝－2＋(n－3)×2＝2n－8＝an＋1－an，所以a8－a1＝2×(1＋2＋3＋…＋7)－8×7＝0，所以a8＝a1＝3.
课标理数浙江卷] 已知公差不为0的等差数列的首项a1为a(a∈r)．设数列的前n项和为sn，且，，成等比数列．
1)求数列的通项公式及sn；
2)记an＝＋＋bn＝＋＋当n≥2时，试比较an与bn的大小．
课标理数浙江卷] 【解答】 (1)设等差数列的公差为d，由2＝·，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a，所以an＝na，sn＝.
2)因为＝，所以。
an＝＋＋因为a2n－1＝2n－1a，所以。
bn＝＋＋当n≥2时，2n＝c＋c＋c＋…＋c＞n＋1，即1－＜1－，所以，当a＞0时，an＜bn；当a＜0时，an＞bn.
课标文数安徽卷] 在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作tn，再令an＝lgtn，n≥1.
1)求数列的通项公式；
2)设bn＝tanan·tanan＋1，求数列的前n项和sn.
课标文数安徽卷] 本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力．
解答】 (1)设t1，t2，…，tn＋2构成等比数列，其中t1＝1，tn＋2＝100，则。
tn＝t1·t2·…·tn＋1·tn＋2，①
tn＝tn＋2·tn＋1·…·t2·t1.②
×②并利用titn＋3－i＝t1tn＋2＝102(1≤i≤n＋2)，得。
t＝(t1tn＋2)·(t2tn＋1)·…tn＋1t2)·(tn＋2t1)＝102(n＋2)，an＝lgtn＝n＋2，n≥1.
2)由题意和(1)中计算结果，知。
bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1.
另一方面，利用tan1＝tan[(k＋1)－k]＝.
得tan(k＋1)·tank＝－1.
所以sn＝bk＝tan(k＋1)·tank
＝－n.课标理数福建卷] 已知等比数列的公比q＝3，前3项和s3＝.
1)求数列的通项公式；
2)若函数f(x)＝asin(2x＋φ)a>0,0<φ<在x＝处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式．
课标数学福建卷] 【解答】 (1)由q＝3，s3＝得＝，解得a1＝.
所以an＝×3n－1＝3n－2.
2)由(1)可知an＝3n－2，所以a3＝3.
因为函数f(x)的最大值为3，所以a＝3；
因为当x＝时f(x)取得最大值，所以sin＝1.
又0<φ<故φ＝.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin.
课标文数福建卷] 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售**，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于。
课标文数福建卷] 【解析】 由已知，有(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，即。
c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得。
x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2，b>a，b－a≠0，x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得 x＝，因为0课标文数湖北卷] 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上后成为等比数列中的b3、b4、b5.
1)求数列的通项公式；
2)数列的前n项和为sn，求证：数列是等比数列．
课标文数湖北卷] 【解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15.解得a＝5.
所以中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.
依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．
故的第3项为5，公比为2.
由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.
所以是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3.
2)证明：由(1)得数列的前n项和sn＝＝5·2n－2－，即sn＋＝5·2n－2.
所以s1＋＝，2.
因此是以为首项，公比为2的等比数列．
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