东北大学秦皇岛分校。
课程名称： 多元统计分析试卷类型： 答案考试形式：开。
授课专业： 数学与应用数学考试日期： 2023年12月12日试卷：共 3 页。
一、 填空题：（每空2分，共30分）
1、设，，，其中，为，为，则，
2、系统聚类分析的方法很多，其中的五种分别为最短距离法、最长距离法、重心法、类平均法、离差平方和法。
3、若p维随机向量，，且与相互独立，则， 。
4、与前个主成分的全相关系数的平方和称为对原始变量的方差贡献率，在因子分析中也称之为共同度。
5、型因子分析研究样品之间的相关关系，型因子分析研究变量之间的相关关系。
6、fisher判别法的基本思想是投影，并利用方差分析的思想来导出判别函数。
二、 判断题（每题2分，共10分）
1、（ 随机向量的协方差阵是对称非负定阵。
2、（ 因子载荷矩阵是对称阵。
3、（ 聚类分析中快速聚类法指的就是模糊聚类法。
4、（ 设，，且与相互独立，则。
5、（ 主成分分析中，从相关矩阵出发求解的主成分一定会比从协方差矩阵出发求解的主成分更可信。
三、计算题（共60分）
1、设的协方差阵为，试分别从协方差和相关矩阵出发求解总体主成分，。（10分）
解：特征方程，得特征根：，
的特征方程：，得特征向量。
的特征方程：，得特征向量。
………5分。
由，得：，特征方程，得特征根：，
的特征方程：，得特征向量。
的特征方程：，得特征向量。
………10分。
2、设5个样品两两之间的距离矩阵：，试用最长距离法作系统聚类，并画出谱系聚类图。（15分）
解：样品与样品之间的明氏距离为：
样品最短距离是1，故把与合并为一类………3分。
计算类与类之间距离（最长距离法），得：
类与类的最短距离是3，故把与合并为一类，……6分。
计算类与类之间距离（最长距离法），得：
类与类的最短距离是8，故把与合并为一类………9分。
计算类与类间距离（最长距离法），得：…12分。
谱系聚类图（略）……15分。
3、设三维随机向量，其中。试问下列5对随机变量或随机向量中哪几对是相互独立的，为什么？（1）与2；（2）与；（3）与；（4）与。（10分）
解：由知，与2不独立；与独立 ……4分。
与独立；与不独立………10分。
4、在2023年洛杉矶奥运会上，有55个国家和地区参与了男子径赛，其中有这样8项比赛指标：x1：100米（秒），x2：
200米（秒），x3：400米（秒），x4：800米（秒），x5：
1500米（分），x6：5000米（分），x7：10000米（分）和x8：
马拉松（分）。
这8个变量的样本相关系数矩阵的个特征根和前三个标准正交特征向量分别为：
1）写出前三个主成分的表达式；（5分）
2）计算每个主成分的方差贡献率，并按照一般性原则选取主成分的个数。（5分）
…5分。2）方差贡献率分别为，，，故主成分应保留2个。……10分。
5、已知某实际问题选用了5个指标作为原始变量，利用了因子分析模型，经spss软件计算，部分输出如下：
试回答以下问题：
1）解释表1中的列extraction中各得数；（5分）
2）结合表2和表3，写出因子分析模型，并简要阐述公因子是如何综合原始指标的信息的。（10分）
解：（1）；
2）因子分析模型：
从旋转因子载荷矩阵可以看出，公因子主要反映了原始指标，，
公因子主要反映了原始指标
公因子主要反映了原始指标
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