【例题训练】
1．（本小题满分14分）
给定椭圆称圆心在原点o，半径为的圆是椭圆c的“准圆”，若椭圆c的一个焦点为其短轴上的一个端点到f的距离为。
1)求椭圆c的方程和其“准圆”的方程；
2)点p是椭圆c的“准圆”上的一个动点，过点p作直线使得与椭圆c都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点m，n.
当p为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求的方程；
求证：为定值。
2．（本小题共14分）
已知动圆过定点且与直线相切．
1)求动圆的圆心轨迹c的方程；
2)是否存在直线l，使l过点并与轨迹c交于p，q两点，且满足？
若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。
3．（本小题满分14分）
已知椭圆椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．
1)求椭圆的方程；
2)设o为坐标原点，点a，b分别在椭圆和上，求直线ab的方程。
参***。1．解：(1)由题意得，所以故椭圆方程为。
准圆的方程为2分。
2)①当点p为“准圆”与y轴正半轴的交点时，它的坐标为。
由题意知直线的斜率均存在时，设其斜率分别为。
过点p的直线l的方程分别为。
联立方程组消去y得。
因为直线l与椭圆有且只有一个公共点，所以解得4分。
不妨设。所以的方程分别为5分。
(i)当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或。
当的方程为时，与准圆交于点。
此时经过点（或)且与椭圆只有一个公共点的直线是。
或)，即为（或)，显然直线垂直，同理可证的方程为时，直线垂直8分。
ii)都有斜率时，设点其中。
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为。
则消去y，得。
化简，得10分。
因为所以。设的斜率分别为因为与椭圆都只有一个公共点，所以满足上述方程。
所以即与互相垂直12分。
综合(i)、(ii)知：
因为经过点又分别交其准圆于点且垂直，所以线段mn为准圆的直径，故………14分。
2. 解：(1) 如图，设m为动圆圆心， 过点m作直线的垂线垂足为n，由题意知2分。
即动点m到定点f与到定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点m的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，动圆圆心的轨迹方程为 ……5分。
2) 若直线l的斜率不存在，则与抛物线c相切，只有一个交点，不合题意；
若直线l的斜率为0，则与抛物线c相交，只有一个交点，不合题意6分。
故设直线l的方程为。
由得8分。且………9分。
设则……11分。
由， 即。于是12分。
即解得………13分。
直线l存在，其方程为即………14分。
3．解： (1)由已知可设椭圆的方程为，其离心率为故则。
故椭圆的方程为5分。
2) 设由得6分。
由点a，b分别在椭圆和上，得。8分。
即9分。由①②得
代入①②得10分。
得12分。直线ab的方程为即或14分。
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