等差数列。
1、定义当，且时，总有，d叫公差。
2、通项公式。
1）、从函数角度看是n的一次函数，其图象是以点为端点， 斜率为d斜线上一些孤立点。
2）、从变形角度看 , 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又，相减得，即。
若 n>m，则以为第一项，是第n-m+1项，公差为d；
若n 3）、从发展的角度看若是等差数列，则，, 因此有如下命题：在等差数列中，若， 则。
3、前n项和公式
由，相加得还可表示为，是n的二次函数。
特别的，由可得。
3、等比数列。
1、 定义当，且时，总有， q叫公比。
2、通项公式：, 在等比数列中，若， 则。
3、前n项和公式：
由， 两式相减，当时， ；当时 ，
关于此公式可以从以下几方面认识：
不能忽视成立的条件：。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。②公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。
如，公差为d 的等差数列， ，则，相减得，当时，，
当时 ，；3）从函数角度看是n的函数，此时q和是常数。
4、等差与等比数列概念及性质对照表。
第一节等差数列的概念、性质及前n项和。
题根一等差数列中， ，求s20
思路]等差数列前n项和公式：
1、 由已知直接求a1 ，公差d.
2、 利用性质。
解题 ] 由 ， 得 ，。
收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。
请你试试 1——1]
1、 等差数列 满足，则有 （
a、 b、 c、 d、
2、 等差数列中，a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求。
第1变求和方法——倒序相加法。
变题1] 等差数列共10项， ，求sn.
思路] 已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想sn公式推导方法。
解题] 已知，又，得 ，1、 等差数列前n项和为18 ，若， ,求项数n
第2变已知前n项和及前m项和，如何求前n+m项和。
变题2] 在等差数列中，sn=a,sm=b,(m>n)，求sn+m的值。
思路] 下标存在关系：m+n=m+n, 这与通项性质是否有关？
解题] 由sn=a,sm=sn+a n+1+an+2+……am=b 得 a n+1+an+2+……am =b-a,即， 得。
由(n+1)+m=1+(n+m得an+1+am=a1+am+n
故。请你试试 1——3]
1、在等差数列中，，，求。
2、在等差数列中，，，求。
第4变迁移变换重视sx=ax2+bx 的应用。
变题4] 在等差数列中，sn=m,，sm=n,(m>n)，求sn+m的值。
思路] 等差数列前n项和公式是关于n的二次函数，若所求问题与无关时，常设为s=an2+bn形式。
解题] 由已知可设 sn=an2+bn=m sm=am2+bm=n ,两式相减 ，得 a(n+m)(n-m)+b(n-m)=m-n , 又m>n , 所以，得 。
收获] “整体代换”设而不求，可以使解题过程优化。
请你试试 1——5]
1、 在等差数列中，，，求。
2、 在等差数列中，，，求。
第二节等比数列的概念、性质及前n项和。
题根二等比数列 ，,求。
思路] 1、由已知条件联立，求，从而得。
2、由等比数列性质，知成等比数列。
解题1] 由， 两式相除，得 ，。
解题2] 由成等比，得 。
收获] 1、灵活应用性质，是简便解题的基础；
2、等比数列中，序号成等差的项，成等比数列。
请你试试2 ——1]
等比数列 ，，若，则___
第2变成等差，则成等差。
变题3] 等比数列 中，成等差，则成等差 。
思路] 成等差，得，要证等差，只需证。
解题]由成等差，得，当 q=1时， ,由得 ，。
由， 得 ，整理得 ，，得 ，两边同乘以， 得，即成等差。
收获] 1、等比数列 中，成等差，则成等差。
2、等比数列 中，成等差，则（其中）成等差。
3、等比数列 中，成等差，则（其中）成等差。
请你试试2——3]
1、 等比数列 ，，成等差， 求的值。
2、等比数列 ，成等差，求证成等比。
第1变分母中两因数之差由常数1由到d
变题1] 求分数数列的前n项和。
思路] 写出通项公式，裂项求和。，解题] ，收获]1、求分数数列的前n项和时，将数列每一项裂为两项的差，称裂项法。
2、用裂项法可求解：
1） 若为等差数列，，公差为d，则。
3、常见裂项法求和有两种类型：分式型和根式型。如分式型；
根式型；。另外还有：nn!=(n+1)!-n!，。
请你试试 3——1]
1、求分数数列的前n项和。
第1变递推式
2、累积错位相消法求数列通项。
变题4] 数列满足，，求通项公式。
思路] 观察与、与存在的关系，思考解题方法。
解题] ，各式相乘得。
收获] 1、若f(n)为常数， 则为等比数列。2、型递推式，通项公式求解方法如下：
各式两边分别相乘，得ii）
当n=1时， (ii)仍成立。
变题5] 在数列中， ,1） 求通项公式 （2）令，求的前n项和。
思路] 将题中递推式转化、归类，再求解。
解题] （1）将题中递推式转化为：
即。由 (ii) 式得通项公式。
2) 由， 得
所以数列前n 项和 ：
第2变型递推数列。
3、累加错位相消法求数列通项。
变题6] 已知数列中，，,求的通项公式。
思路] 将题中递推式变形，利用错位相消法。
解将题中递推式表示为：，于是。
各式相加得。
得 即为所求通项公式。
收获] 对于数列，设则称数列是差数列， 则
得。所以的通项公式为………iii）. 当n=1时，也满足(iii)式。
变题7] 在数列中，, 求通项公式。
思路] 题中关系式不是型的递推式，但两边同除以n(n+1)，经过变量替换，可化为型递推式。
解题] 在递推式两边同除以 n(n+1) ,得
令得，。由（iii）式得表达式为：
于是通项公式为
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