高考不等式专题 讲解

发布 2021-05-15 01:40:28 阅读 5669

高考重难点专题突破之——不等式。

一、 综述(内容、地位、作用):

在苏教版高中数学教科书必修系列中,直接涉及“不等式”内容的部分为必修5第三章《不等式》。另外,在实际教学过程中,在学到必修5《不等式》之前的某些章节(如集合、函数的值域等),无**理科班,基于教学内容的关联性和完整性,老师们基本上都要对选修4-5中的部分基础性内容进行选讲。所以“不等式”的内容主要来自必修5第三章《不等式》以及选修系列4-5《不等式选讲》。

综合来看,不等式的内容主要可分为不等式的求解、证明和应用三部分,它们又分别以一元二次不等式的求解、均值不等式相关的证明、不等式在应用题以及线性规划中的应用为主。

不等式是中学数学的主干内容之一, 它不仅是中学数学的基础知识,而且在中学数学中起着广泛的工具性作用,对学生们步入大学之后的数学学习也具有基础性的铺垫作用。在历年的高考中,不等式虽很少单独命题(理科附加卷除外),但无论从它所涉及到的知识点或是题量来看,有关不等式的试题分布范围极广(甚至有些题目很难界定其中对不等式的考查所占到的比重,所以我们也很难准确给出高考中不等式所占分值),试题不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的应用能力等数学素养。

在高考命题趋势上,不等式的考查极其突出工具性,淡化独立性、突出解,是不等式命题的总体取向。高考中不等式试题的落脚点主要有:一,不等式的性质,常与指数函数、对数函数、三角函数等结合起来,考查不等式的性质、函数的单调性、最值等;二,不等式的证明,多以函数、数列、解析几何等知识为背景,在知识网络的交汇处命题,综合性强,能力要求高;三,解不等式,往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起,考查学生的等价转化能力和分类讨论能力;四,不等式的应用,以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题是高考的热点,主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。

二、 考试要求与教学建议:

一) 必修5部分。

新课标在对“必修5”《不等式》一章的说明中指出:“不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学研究的重要内容……掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题;能用二元一次不等式组表示平面区域,并尝试解决一些简单的二元线性规划问题;认识基本不等式及其简单应用;体会不等式、方程及函数之间的联系。”由此,我们大致可以看出教材对于本部分的基本要求以及高考的考查要点。

本部分的课标建议课时为大约16课时。相应的说明与建议主要有:

1、 一元二次不等式教学中,应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式,首先可求出相应方程的根,然后根据相应函数的图象求出不等式的解;也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。

2、 不等式有丰富的实际背景,是刻画区域的重要工具。刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤,教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组。

3、 线性规划是优化的具体模型之一。在本模块的教学中,教师应引导学生体会线性规划的基本思想,借助几何直观解决一些简单的线性规划问题,不必引入很多名词。

二) 不等式选讲部分。

此部分文理科考生的对待方式见的异同我们已在“综述”部分有所讲解,次不赘述。

本专题主要介绍几个数学中重要的不等式以及数学归纳法。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景,以加深学生对这些不等式的数学本质的理解,提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。从文理科学习之间的异同的角度,我们可以将本专题内容分为两部分:

前半部分,文理科同等要求,且均在必修过程中已基本讲解到位;后半部分,只对理科生做简单要求,即高考时所考题目难度不大,基本上可直接套用公式,或只需经简单并行即可套用公式,同时,也不是必做题。

下面,我们把新课标中的内容与要求重点性的摘录于此,以供诸位师生**,同时也作为本部分内容的一个基本总结,后文将不再详细展开。

1、 理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明三角不等式等。

2、 认识柯西不等式的几种不同形式。

3、 了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题。

4、 会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。

5、 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

三、 考点归纳与题型讲解之“不等式的求解”

一)、不等式的性质。

1、不等式的性质是解、证不等式的基础,对于这些性质,关键是正确理解和熟练运用,要弄清每一个条件和结论,学会对不等式进行条件的放宽和加强。

2、两个实数的大小:

3、不等式的基本性质:

1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式.不等号的方向不变.

如果,那么。

2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.

如果,那么(或).

3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

如果, ,那么(或)

由上面三条可以衍生出如下的性质:

1)(对称性)

2)(传递性)

3)(加法单调性)

4)(同向不等式相加)

5)(异向不等式相减)

7)(乘法单调性)

8)(同向不等式相乘)

异向不等式相除)

倒数关系)11)(平方法则)

12)(开方法则)

4.例题:1)已知,,则的取值范围是___

答:);2)已知,且则的取值范围是___

答:)二)解一元一次不等式(组)

1.一元一次不等式。

1.1定义: 只含有一个未知数,且未知数的次数是1.系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式.

注:一元一次不等式的一般形式是ax+b>o或ax+b1.2解一元一次不等式的一般步骤。

1)去分母;(2)去括号;(3)移项; (4)合并同类项;(5)化系数为1.

说明:解一元一次不等式和解一元一次方程类似.不同的是:一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向必须改变,这是解不等式时最容易出错的地方.

2.一元一次不等式组。

2.1定义:含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.

说明:判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件:①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式,且未知数相同;②不等式组中不等式的个数至少是2个,也就是说,可以是2个、3个、4个或更多.

2. 2一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中,几个不等式解集的公共部分.叫做这个一元一次不等式组的解集.一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定.

2. 3. 不等式组解集的确定方法,可以归纳为以下四种类型(设a>b)

2.4.解一元一次不等式组的步骤。

1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;

2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.

3.例题讲解。

例1】 解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来。

解:解不等式①得,解不等式②得,不等式①和②的解集在数轴上表示如下:

原不等式组的解集是。

三)解一元二次不等式(组)

1:一元二次不等式的定义:

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式。

比如:.任意的一元二次不等式,总可以化为一般形式:或。

2:一般的一元二次不等式的解法:

一元二次不等式的解集可以联系二次函数的图象,图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集,图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集。

设一元二次方程的两根为且,,则相应的不等式的解集的各种情况如下表:

注:表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,可先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决;

3:规律方法指导。

3.1.解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正;若为负,则将其变为正数;

3.2.若相应方程有实数根,求根时注意灵活运用因式分解和配方法;

3.3.写不等式的解集时首先应判断两根的大小,若不能判断两根的大小应分类讨论;

3.4.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解集与其系数之间的关系;

3.5.若所给不等式最高项系数含有字母,还需要讨论最高项的系数。

四).解分式不等式。

1. 形如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0(其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0)的不等式称为分式不等式。

通俗的说就是分母中含未知数的不等式称之为分式不等式。

2. 归纳分式不等式的解法:(不知道分母正负的时候)

化分式不等式为标准型:方法:移项,通分,右边化为0,左边化为的形式。

将分式不等式进行形如以下四类的等价变形:

3.例题讲解:解不等式:.

解法1:化为两个不等式组来解:

x∈φ或,原不等式的解集是。

解法2:化为二次不等式来解: ,原不等式的解集是

点评:提倡用解法2,避免分类讨论,提高解题速率。

变式1:解不等式。

解: 的解集是。

高考不等式专题 讲解

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