韶关学院课程教学设计（ 2学时）
教学过程、内容（含教与学的方法）
第二章群论。
有了前一章的准备工作以后，我们就来研究我们抽象代数中重要的代数系统——群。
群是一个只有一种代数运算的代数系统，我们知道，一个代数运算用什么符号来表示，是可以由我们选择的，可用o,也可用。群的代数运算普通为方便起见，不用o来表示，而用普通乘法的符号来表示，就是我们不写，而写。因此，我们就把一个群的代数运算叫做乘法。
当然一个群的乘法一般不是普通的乘法。如向量空间的加法一样。
2.1 群的定义。
群的定义有很多不同的种类，它的很多性质可以作为它的定义。荷兰数学家罗伦茨（1853-1928）曾举出了40个以上的群的定义。有的不用乘法而用除法来定义，常见的是我们书上的两种（或三种）.
一、群的第一定义。
1. 定义设g是一个定义了叫做乘法的代数运算的非空集合，若：
i．g对于这个乘法来说是封闭的；
ii．结合律成立：；
iii．，方程和都在g里有解。
则称g对于这个乘法来说作成一个群。
注意：1．定义了叫做乘法的代数运算的非空集合g称为一个群胚。
2．满足i，ii的代数系统g称为半群。
3．群是：一个集合，一种运算，三条公理。
2. 例。例1.，乘法：，则g对于这个乘法来说作成一个群。这是因为：
. g是闭的；
. 有解，就是。
有解，就是。
例2．整数**：，乘法是普通加法，则g对于普通加法来说作成一个群。这是因为：
. 两个整数相加还是一个整数；
. 整数相加适合结合律；
.方程和在g中有整数解。
例3．，乘法是普通减法，则g对于普通减法来说不作成群。因为：i，iii成立，但ii不成立：3-(2-1)≠(3-2)-1.
例4．，乘法是普通乘法，则g对于普通乘法来说不作成群。因为：i，ii成立，但iii不成立：没有整数解。
例5．，乘法是普通乘法，则g对于普通乘法来说作成一个群。
3. 性质：若g是一个群，则
iv．，使有（这个e叫做g的一个左单位元）.
证明] 由ii，对于一个固定的元b，在g里有解。取一个解e：.，又由iii，有解c：，.这就证明了e的存在。
v．，使（叫做a的一个左逆元，e是一个固定的左单位元）.
证明] 由iii，有解：.
命题1. 设g是一个定义了乘法的非空集合，则i，ii，iii i，ii，iv，v.
二、群的第二定义。
设g是一个定义了叫做乘法的代数运算的非空集合。若满足i，ii，iv，v，则称g对于乘法来说作成一个群。
命题2. 设g是一个定义了乘法的非空集合，则i，ii，iv，v i，ii，iii.
证明] 我们分三步来证明：
i）“一个左逆元一定也是一个右逆元”，这句话现在还不能这么说。
若，则（e是左单位元）.”因为：由v，使，所以，即。（注意：这时还不能说是的右逆元，因为e还不一定是右单位元。）
ii）“一个左单位元一定也是一个右单位元”，即。因为：，即。
iii），，又由i.取，则它就是方程的解，因为：.又又由i.取，则它就是方程的解，因为：.
故公理i，ii，iii成立。
命题1和命题2说明群的这两个定义是等价的。
例6．，乘法：普通乘法，则g对于普通乘法来说作成一个群。这是因为：
. g对于普通乘法来说是闭的；
ii．普通乘法适合结合律，对于g的元当然也成立；
iv．，使，即1是左单位元；
v．.它的乘法表是：
例7． 则g是一个群，同例6.
又若。i成立显然，ii成立同学自己验证。
iv，.v不成立对于a有ba=a，对于b有ab=b但yb=a无解。所以，v不成立，g不成群。
iii不成立：方程yb=a无解。
注意：1. 一般第二定义比第一定义更方便，用的更多；
2. 若成群一般用第二定义，若不成群一般用第一定义。
三、群的第三定义与公理比较。
定义：设g是一个定义了乘法的代数运算的非空集合，若满足i，ii及。
iv＇（这个ｅ叫ｇ的一个右单位元）.
v＇（叫做a的一个右逆元，e是一个固定的右单位元）.
可证i，ii，iii i，ii，iv＇，v＇，也可证i，ii，iv，v i，ii，iv＇，v＇.
下列各组公理能不能作为群的公理呢？（）
a）i，ii，iv，iv＇； b）i，ii，iv，v＇；
c）i，ii，iv＇，v； （d）i，ii，v，v＇.
答：（a）不能作为群公理。
例8．，乘法：普通乘法。i，ii满足，而左右单位元都是1，满足iv，iv＇，但g不是群。
b）不能作为群公理：
例9． i成立，ii也成立：考虑，当时，；当时，.iv成立：
有两个左单位元a，b：.v＇成立：对于给定的左单位元a：
a有右逆元a：aa=a；b有右逆元a：ba=a.
但g不构成群。
c）不能作为群公理。
例10． 它满足i，ii，iv＇，v，但不构成群。
d）不能作为群公理，显然。
四、几个名词和符号。
1. 有限群——若群g的元的个数是一个有限整数。
无限群——若群g的元的个数不是有限整数。
一个有限群g的元的个数叫做这个群的阶，记为|g|.
例1、例6是有限群；例2、例5是无限群。
2.群g的乘法适合结合律， 有意义，且属于g.当时，我们称（n是正整数）是a的n次乘方（简称n次方），记为或规定。
性质：；.3.
设g是一个群，若均有ab=ba，则称g是交换群，也叫阿贝尔群。（在群的公理中没有要求交换律成立，所以在一般的群里交换律未必成立，但也有成立的群，这种群叫交换群）.
性质：穿脱原理：（群），.
作业] 一。 设是实数域上的所有n级矩阵的集合。根据群的定义判断下列代数系统是否构成群？
1.，乘法：矩阵的加法；
2.，乘法：矩阵的乘法；
3.，乘法：矩阵的乘法；
4.，乘法：矩阵的乘法。
二。p35 3.
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