立体几何。
1.已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长为3cm，则这个正四棱柱的侧面积为 cm2.
答案】72解析】侧面矩形的高为6 cm，所以侧面积为4×3×6=72cm2.
2.用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高是 .
答案】r解析】圆锥筒底面圆周的半径r==，高h==r.
3.若一个正六棱锥的底面边长为6 cm，高为15 cm，则它的体积为 cm3.
答案】270
解析】由题意可得，底面积s=×6×6××6=54，则体积为v=sh=×54×15=270.
4.如图，在三棱柱a1b1c1-abc中，d，e，f分别是ab，ac，aa1的中点，设三棱锥f-ade的体积为v1，三棱柱a1b1c1-abc的体积为v2，则v1∶v2= .
(第4题)答案】1∶24
解析】因为d，e分别是ab，ac的中点，所以s△ade∶s△abc=1∶4.
记f和a1到平面abc的距离分别为h1，h2.由f为aa1的中点，得h1∶h2=1∶2.
所以==1∶24.
5.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 .
分析】理解题意是解决本题的关键；条件“总体积与高均保持不变”与“底面半径相同”是解题的入手点。
答案】解析】由体积相等得×4×π×52+π×22×8=×r2×π×4+π×r2×8r=.
点评】解决圆柱或圆锥的体积及面积时，常把问题转化到基本公式的运用与基本量的运算上，如底面半径，以及母线长等。
6.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为s1，s2，体积分别为v1，v2，若它们的侧面积相等，且，则的值是 .
分析】圆柱的体积等于底面积乘以高，确定底面半径与高的大小或比例关系是解题关键。
答案】解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，h1，r2，h2，则2πr1h1=2πr2h2，即=.
又==，所以=，所以==·
点评】解决圆柱的面积或体积问题时，常转化到一些基本量的运算上，比如高、底面圆半径等。
7. 如图，正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，e为线段b1c上的一点，则三棱锥a-ded1的体积为 .
(第2题)答案】
解析】==8.如图，已知四棱柱pabcd的底面abcd是平行四边形，pa⊥平面abcd，m是ad的中点，n是pc的中点．
1) 求证：mn∥平面pab；
2) 若平面pmc⊥平面pad，求证：cm⊥ad.
第16题图)
证明：(1) 取pb中点e，连ea，en，△pbc中，en∥bc且en＝bc，又am＝ad，ad∥bc，ad＝bc，(3分)
得en∥am，en＝am，四边形enma是平行四边形，(5分)
得mn∥ae，mn平面pab，ae平面pab， mn∥平面pab(7分)
2) 过点a作pm的垂线，垂足为h， 平面pmc⊥平面pad，平面pmc∩平面pad＝pm，ah⊥pm，ah平面pad， ah⊥平面pmc， ah⊥cm.(10分)
pa⊥平面abcd，cm平面abcd，∴ pa⊥cm.(12分)
pa∩ah＝a，pa，ah平面pad，cm⊥平面pad， ad平面pad，∴ cm⊥ad.(14分)
9. 如图(1)，在矩形abcd中，ab=2ad，e是cd的中点，以ae为折痕将△ade向上折起，使d到p点位置，且pc=pb.
1) 若f是bp的中点，求证：cf∥平面ape；
2) 求证：平面ape⊥平面abce.
变式(1))
分析】本题主要考查线面、面面位置关系的证明。(1) 利用面面平行证明线面平行；(2) 取ae，bc的中点，利用已知的两个等腰三角形得出线线垂直，进而得出线面垂直、面面垂直。
解答】(1) 如图(2)，取ab的中点g，连接gf，gc.
因为ec∥ag，ec=ag=ab，所以四边形aecg为平行四边形，所以gc∥ae.
因为ae平面ape，cg平面ape，所以gc∥平面ape.
变式(2))
在△abp中，gf∥ap，因为ap平面ape，gf平面ape，所以gf∥平面ape.又gf∩gc=g，所以平面cgf∥平面ape.
因为fc平面cgf，所以cf∥平面ape.
2) 取ae的中点o，连接po，因为pa=pe，所以po⊥ae.取bc的中点h，连接oh，ph，可知oh∥ab，所以oh⊥bc.
因为pb=pc，所以bc⊥ph.又ph∩oh=h，ph，oh平面poh，所以bc⊥平面poh，所以bc⊥po.
又bc与ae相交，bc，ae平面abce，所以po⊥平面abce.
因为po平面ape，所以平面ape⊥平面abce.
10. 如图(1)所示，在rt△abc中，ac=6，bc=3，∠abc=90°，cd为∠acb的平分线，点e**段ac上，且ce=4.如图(2)所示，将△bcd沿cd折起，使得平面bcd⊥平面acd，连接ab，设点f是ab的中点。
图(1图(2)
典例)1) 求证：de⊥平面bcd；
2) 若ef∥平面bdg，其中g为直线ac与平面bdg的交点，求三棱锥b-deg的体积。
思维引导】规范解答】
1) 在图(1)中，因为ac=6，bc=3，∠abc=90°，所以∠acb=60°.
因为cd是∠acb的平分线，所以∠bcd=∠acd=30°，所以cd=2.……2分。
因为ce=4，∠dce=30°，所以de=2.
因为cd2+de2=ec2，所以∠cde=90°，则de⊥dc.……4分。
在图(2)中，因为平面bcd⊥平面acd，平面bcd∩平面acd=cd，de平面acd，所以de⊥平面bcd7分。
2) 在图(2)中，因为ef∥平面bdg，ef平面abc，平面abc∩平面bdg=bg，所以ef∥bg9分。
因为点e**段ac上，ce=4，点f是ab的中点，所以ae=eg=cg=2.
作bh⊥cd交cd于点h，如图(3)所示。因为平面bcd⊥平面acd，所以bh⊥平面acd11分。
由已知条件可得bh12分。
s△deg=s△acd=×ac×cd×sin 3013分。
所以三棱锥b-deg的体积v=s△deg×bh14分。
图(3)典例)
精要点评】 对于翻折问题，通常在折痕同侧的位置关系和线的长度、角的大小不变，但是在折痕两侧的线的长度、角的大小以及位置关系都发生变化，这一点是处理翻折问题的关键。
11.在如图(1)所示的多面体中，四边形abb1a1和四边形acc1a1都是矩形。
例3(1))
1) 若ac⊥bc，求证：直线bc⊥平面acc1a1.
2) 设d，e分别是线段bc，cc1的中点，**段ab上是否存在一点m，使直线de∥平面a1mc?请证明你的结论。
分析】结合条件ac⊥bc，再证得bc⊥aa1，即可证明直线bc⊥平面acc1a1.先找到点，再证明该点满足条件。若在条件中多次出现“中点”，即可找“中点”并验证。
解答】(1) 因为四边形abb1a1和四边形acc1a1都是矩形，所以aa1⊥ab，aa1⊥ac.
因为ab，ac为平面abc内的两条相交直线，所以aa1⊥平面abc.
因为bc平面abc，所以aa1⊥bc.
又因为ac⊥bc，且aa1，ac为平面acc1a1内的两条相交直线，所以bc⊥平面acc1a1.
(2) 当点m为线段ab的中点时，de∥平面a1mc.证明如下：如图(2)，取线段ab的中点m，连接a1m，mc，a1c，ac1，设o为a1c与ac1的交点，由题知o为ac1的中点。
例3(2))
连接md，oe，则md，oe分别为△abc，△acc1的中位线，所以md=ac，oe=ac，且md∥ac，oe∥ac，所以mdoe.
连接om，从而四边形mdeo为平行四边形，所以de∥mo.因为直线de平面a1mc，mo平面a1mc，所以直线de∥平面a1mc.
即线段ab上存在一点m(线段ab的中点)，使直线de∥平面a1mc.
12. 如图(1)，在三棱锥p-abc中，ab=ac，d为bc的中点，po⊥平面abc，垂足o落**段ad上，已知bc=8，po=4，ao=3，od=2.
(变式(1))
1) 求证：ap⊥bc.
2) **段ap上是否存在点m，使得二面角a-mc-b为直二面角？若存在，求出am的长；若不存在，请说明理由。
分析】可以通过直线bc⊥平面pad来证明bc⊥ap；二面角a-mc-b为直二面角即平面amc⊥平面bmc，题目本意上是要找点，使得两平面垂直，因此可先考虑把面面垂直作为条件，然后去找点m需要满足的条件。
解答】(1) 因为ab=ac，d是bc的中点，所以ad⊥bc.因为po⊥平面abc，所以po⊥bc.
因为po∩ad=o，po，ad平面pad，所以bc⊥平面pad，所以bc⊥pa.
(2) 如图(2)，在平面pab内，作bm⊥pa于点m，连接cm，由(1)知ap⊥bc.
因为bm∩bc=b，bm，bc平面bmc，所以ap⊥平面bmc.
(变式(2))
又因为ap平面apc，所以平面bmc⊥平面apc.
在rt△adb中，由ab2=ad2+bd2=41，得ab=.
在rt△pod中，pd2=po2+od2，在rt△pdb中，pb2=pd2+bd2，所以pb2=po2+od2+db2=36，则pb=6.
在rt△poa中，由pa2=ao2+op2=25，得pa=5.又cos ∠bpa==，所以pm=pbcos ∠bpa=2，所以am=pa-pm=3.
立体几何答案
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