专题立体几何。
审稿人 ：高三数学组。
高考对这一部分的考察主要是一大一小两种命题形式。主要考查学生的空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．
专题（一）空间点线面的位置关系。
主干知识整合：
在高考中，立体几何往往有两个小题和一个大题，而小题中，一般会有一道专门考查空间点线面的位置关系的题目，大题则通常在进行鉴定会间角与距离的计算前要先进行位置关系的判断。而在方法的选择上，既可以用几何法，也可以用向量法，估计在2023年的高考中，仍将出现这种特点。因此，我们要既能对空间点线面的位置关系进行推理判断，也要熟练掌握向量方法。
1.平面的基本性质。
2.两直线平行与垂直的判定定理和性质定理。
3.直线与平面平行与垂直的判定定理和性质定理。
4.两平面平行与垂直的判定定理和性质定理。
经典真题感悟：
1．（08上海卷13） 给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（ c ）条件。
a．充要 b．充分非必要 c．必要非充分 d．既非充分又非必要。
2.（07江西理7题）如图，正方体ac1的棱长为1，过点a作平面a1bd的垂线，垂足为点h．则以下命题中，错误的命题是（ d ）
a．点h是△a1bd的垂心 b．ah垂直平面cb1d1
c．ah的延长线经过点c1 d．直线ah和bb1所成角为45°
3.（08海南卷15）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为 __
热点考点**：
考点一：空间想象能力与空间概念。
例1 (1)如图，a,b到的距离分别是，ab与所成的角分别是，ab在内的射影分别是和。若，则 ( d)
a. b.
c. d.
2) 空间直线是600角的异面直线，分别过作平面，使平面也成600角，这样的面平 ( a )
a. 有无穷对 b. 只有5对 c. 只有3对 d. 只有1对。
解析】(1)选d.
又∵,2)选a
过直线任作一平面，记为，因为与异面，且与成600角，故过直线作平面，与成600角，然后交换的位置(绕直线旋转),就会得到相应的，从而符合要求的平面有无数对。
考点二：空间线面平行、垂直等位置的判定与证明。
例2 (1)在三棱柱abc－a/b/c/中，点e、f、h、k分别为ac/、cb/、a/b、b/c/的中点，g为三角形abc的重心，从k、h、g、b/中取一点作为p,使得棱柱恰有2条棱与平面pef平行，则p为。
hc. 2)下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点m、n、p分别为其所在棱的中点，能得出垂直面mnp的图形的序号是写出所有符合要求的图形序号).
解析】(1)选c.
现按各选项顺序逐图画出。
图(a)中过kef的截面为平行四边行pknm,显然三侧棱均与此戴面平行，图(b)中，过hef的截面为三角形pqr,其中p、q、r为各侧棱中点，显然三棱柱底面各棱均与此截面平行。图(c)中，过gef的截面为梯形mnqp,其中各项点m、n、q、p均为所在棱的三等分点，显然该棱柱恰有两棱ab、a/b/与这个截面平行。图(d)中，过b/ef的截面三角形a/b/c/,此棱柱只有一个棱ab与此截面平行。
考点三：空间点、线、面关系中**性问题。
例3 如图，设动点p在棱长为1的正方体。
abcd－a1b1c1d1的对角线bd1上，记。
为钝角时，求的取值范围。
解析】由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有a(1,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0),d(0,0,1).由。所以。
显然不是平角，所以为钝角等价于。
这等价于。因此，
点评】本题属空间探索性问题，通过建立空间直角坐标系转化为代数问题，充分体现了空间向量的工具性。
考点四： 平面图形的翻折。
例5 如图所示，在矩形abcd中，ab=4,bc=3,沿对角线ac把矩形折成二面角d－ac－b,并且d在平面abc内的射影落在ab上。
1)求证：ad⊥平面dbc;
2)求二面角d－ac－b的大小。
解析】(1)设d在ab上的射影为h,则dh⊥平面abc,dh⊥bc,又bc⊥ab,bc⊥平面adb.
于是ad⊥bc ,又ad⊥dc,∴ad⊥平面dbc.
2)在平面abc内作he⊥ac,垂足为e,连结de,则de⊥ac,故∠def为二面角d－ac－b的平面角。在。在。
在。即二面角d－ac－b的平面角为。
规律总结。1. 画几何的截面形状，就是要画出这个截面与几何体各表面的交线，这就要求先找到截面与各表面的两个公共点，或者先找到一个公共点，再根据条件过此点作某线的平行线。
2.在解决空间位置关系的问题的过程中，注意几何法与向量法结合起来使用。若图形易找(例如，平面的垂线易作等),则用几何法较简便，否则用向量法。
而用向量法，一般要求先求出直线的方向向量以及平面的法向量，然后考虑两个相关的向量是否平行或垂直。
3.对于空间线面位置的探索性问题，有的是运用几何直观大胆猜测后推是验证，有的是直接建系后进行计算，有时两种办法相结合，它因结果的不确定性，增强能力考查，而成为新高考的热点。
专题能力训练：
一、选择题。
1．一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是。 则这两条直线的位置关系 （ d ）
a．必定相交 b．平行 c．必定异面 d．不可能平行。
2．下列说法正确的是 b 。
a．直线a平行于平面m，则a平行于m内的任意一条直线。
b．直线a与平面m相交，则a不平行于m内的任意一条直线。
c．直线a不垂直于平面m，则a不垂直于m内的任意一条直线。
d．直线a不垂直于平面m，则过a的平面不垂直于m
3．[2023年普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷）数学（文科）第12题]已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（d ）
a． b． c． d．
4.三棱锥的侧面两两垂直，且所有侧棱之和为3，则三棱锥的体积的最大值为（ b ）
a） （b） （c） （d）
5.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，则k的最大值是 4
二．填空题：
6．一个正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后，正**空间能放下的最大的球的直径为
7.（全国二16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条。充要条。
写出你认为正确的两个充要条件）（两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．）
三．解答题：
8. 已知在四面体中，，，平面．
（1）若为△的重心，试证明；
（2）试问（1）的逆命题是否成立？并证明你的结论．
8. 解：(1)连交于，则平分，且分所成的比为2∶1，从而。
又，故．2)逆命题成立，证明如下：设分所成的比为，分所成的比为．则，于是，
因，故，解得，于是为△的重心．
9. 08陕西卷19．
三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，
ⅰ）证明：平面平面；
ⅱ）求二面角的大小．
解法二：（ⅰ如图，建立空间直角坐标系，则，．
点坐标为．．，又，平面，又平面，平面平面．
ⅱ）平面，取为平面的法向量，设平面的法向量为，则．
如图，可取，则，即二面角为．
10. 解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．
ⅰ）∵e,f 分别是ab,bd 的中点，ef 是△abd 的中位线，∴ef∥ad，ef面acd ，ad 面acd ，∴直线ef∥面acd ．
ⅱ）∵ad⊥bd ，ef∥ad，∴ ef⊥bd.
cb=cd, f 是bd的中点，∴cf⊥bd.
又efcf=f，∴bd⊥面efc．∵bd面bcd，∴面efc⊥面bcd ．
11.（2005湖北）如图在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，为的中点，在侧面内，找一点使。
分析1：把四棱锥补成长方体。
设是它的一个中截面，不难看到当。
延长交于则为所求。
解法1：如图设分别是棱的。
中点，连结，是。
棱的中点，是矩形，，，而，，四边形是矩形，
平面，在面内作延长交于，，在矩形中，，在中，，所以当点在的中位线上，且时，。
分析2：以点为坐标原点，分别以直线为轴，y轴，z轴；正方向建立空间直角坐标系，设，其中，由，转化为，且，再求出的值，从而确定平面内点de 位置。解法2：
如图在四棱锥中底面为矩形，，以为坐标原点分别以直线为轴，y轴，z轴；正方向建立空间直角坐标系，设，其中。
则，要使，只需。
所以在侧面内，当点时，。
总结：用向量方法**线面垂直，就是利用这条直线与平面内的两条相交直线垂直，即然后求出点的坐标。
专题 (二) 空间距离。
主干知识整合：
这块内容历来是高考考查的重点。同时贯穿着位置关系的判断。
1.两点的距离。异面直线间的距离。
2.线面间的距离。面面间的距离。
经典真题感悟：
1.（湖南卷9）长方体abcd－a1b1c1d1的8个顶点在同一球面上，且ab=2,ad=,aa1=1,则顶点a、b间的球面距离是( c )
a.2 b. c. d.
2．（江苏理14题）正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是 ．
3．（湖南理8题）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ d ）
abcd．
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