1.（本小题14分）如图，在三棱柱abc中，平面abc，d，e，f，g分别为，ac，，的中点，ab=bc=，ac==2．
ⅰ）求证：ac⊥平面bef；
ⅱ）求二面角bcdc1的余弦值；
ⅲ）证明：直线fg与平面bcd相交．
解析】（1）在三棱柱中，平面，四边形为矩形．又，分别为，的中点，平面．
2）由（1）知，，．
又平面，平面．
平面，．如图建立空间直角坐称系．
由题意得，，，设平面的法向量为，令，则，，平面的法向量，又平面的法向量为，．
由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
3）平面的法向量为，，，与不垂直，与平面不平行且不在平面内，与平面相交。
2．（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，分别为，的中点．
1）求证：；
2）求证：平面平面；
3）求证：平面．
解析】（1），且为的中点，底面为矩形，，．
2）底面为矩形，平面平面，平面，又，平面，平面平面．
3）如图，取中点，连接，．
分别为和的中点，，且，四边形为矩形，且为的中点，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面．
3．（12分）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且。
1）证明：平面平面；
2）求与平面所成角的正弦值。
解答：（1）分别为的中点，则，∴，又，，∴平面，平面，∴平面平面。
2），，又，，∴平面，∴，设，则，，∴过作交于点，由平面平面，平面，连结，则即为直线与平面所成的角，由，∴，而，∴，与平面所成角的正弦值。
4．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
1）证明：平面；
2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
解析】（1）因为，为的中点，所以，且，连结．因为，所以为等腰直角三角形，且，，由知，由知平面．
2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
由已知得，取平面的法向量，设，则，设平面的法向量为．由，得，可取，由已知得，解得（舍去），又，所以．
所以与平面所成角的正弦值为．
5．（12分）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
1）证明：平面平面；
2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
解答：（1）∵正方形半圆面，半圆面，∴平面。
在平面内，∴，又∵是半圆弧上异于的点，∴.又∵，∴平面，∵在平面内，∴平面平面。
2）如图建立坐标系：
面积恒定，，最大。，设面的法向量为，设面的法向量为，同理，，，
6.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知圆锥的顶点为p，底面圆心为o，半径为2
1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
2）设po=4，oa，ob是底面半径，且∠aob=90°，m为线段ab的中点，如图，求异面直线pm与ob所成的角的大小。
7.(本小题满分13分)
如图，且ad=2bc，,且eg=ad，且cd=2fg，，da=dc=dg=2.
i）若m为cf的中点，n为eg的中点，求证：；
ii）求二面角的正弦值；
iii）若点p**段dg上，且直线bp与平面adge所成的角为60°，求线段dp的长。
解析】依题意，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，
1）依题意，．
设为平面的法向量，则即，不妨令，可得．
又，可得，又因为直线平面，所以平面．
2）依题意，可得，，．
设为平面的法向量，则即，不妨令，可得．
设为平面的法向量，则即，不妨令，可得．
因此有，于是．
所以，二面角的正弦值为．
3）设线段dp的长为，则点的坐标为，可得．易知，为平面的一个法向量，故，由题意，可得，解得．
所以线段的长为．
8．（本题满分15分）如图，已知多面体abca1b1c1，a1a，b1b，c1c均垂直于平面abc，∠abc=120°，a1a=4，c1c=1，ab=bc=b1b=2．
ⅰ）证明：ab1⊥平面a1b1c1；
ⅱ）求直线ac1与平面abb1所成的角的正弦值．
解答：（1）∵，且平面，，∴
同理，.过点作的垂线段交于点，则且，∴.
在中，，，过点作的垂线段交于点。
则，，∴在中，，，
综合①②，平面，平面，平面。
2）过点作的垂线段交于点，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系。
则，设平面的一个法向量，则，令，则，又∵，.
由图形可知，直线与平面所成角为锐角，设与平面夹角为。
9．（本小题满分14分）在平行六面体中，．
求证：（1）；
解析】（1）在平行六面体中，．
因为平面，平面，所以平面．
2）在平行六面体中，四边形为平行四边形．
又因为，所以四边形为菱形，因此．又因为，，所以．
又因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．
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