1. 如图，三棱柱abc－a1b1c1中，侧棱垂直底面，∠acb=90°，ac=bc=aa1，d是棱aa1的中点。
ｉ)证明：平面bdc1⊥平面bdc
ⅱ）平面bdc1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
解析】（ⅰ由题设知bc⊥,bc⊥ac，,∴面， 又∵面，∴,由题设知，∴=即，又∵, 面， ∵面，面⊥面；
ⅱ）设棱锥的体积为，=1，由题意得，==由三棱柱的体积=1，=1:1， ∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1.
2. 如图5所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高。
1）证明：平面；
2）若，，，求三棱锥的体积；
3）证明：平面。
解析】（1）证明：因为平面，所以。
因为为△中边上的高，所以。
因为，所以平面。
2）连结，取中点，连结。
因为是的中点，所以。
因为平面，所以平面。
则，。3）证明：取中点，连结，。
因为是的中点，所以。
因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以。
因为，所以。
因为平面，所以。
因为，所以平面，所以平面。
3. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．
求证：（1）平面平面；
（2）直线平面．
答案】证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。
又∵平面，∴。
又∵平面，∴平面。
又∵平面，∴平面平面。
2）∵，为的中点，∴。
又∵平面，且平面，∴。
又∵平面，，∴平面。
由（1）知，平面，∴∥
又∵平面平面，∴直线平面。
4. 如图，四棱锥p—abcd中，abcd为矩形，△pad为等腰直角三角形，∠apd=90°，面pad⊥面abcd，且ab=1，ad=2，e、f分别为pc和bd的中点．
1）证明：ef∥面pad；
2）证明：面pdc⊥面pad；
3）求四棱锥p—abcd的体积．
如图，连接ac，abcd为矩形且f是bd的中点，ac必经过f1分。
又e是pc的中点，所以，ef∥ap2分。
ef在面pad外，pa在面内，∴ef∥面pad
2）∵面pad⊥面abcd，cd⊥ad，面pad面abcd=ad，∴cd⊥面pad，又ap面pad，∴ap⊥cd
又∵ap⊥pd，pd和cd是相交直线，ap⊥面pcd
又ad面pad，所以，面pdc⊥面pad
3）取ad中点为o，连接po，因为面pad⊥面abcd及△pad为等腰直角三角形，所以po⊥面abcd，即po为四棱锥p—abcd的高。
ad=2，∴po=1，所以四棱锥p—abcd的体积。
5. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，、分别为、、的中点，且。
i）求证：平面平面；
ii）求三棱锥与四棱锥的体积。
之比。解析】（i）证明：由已知ma 平面abcd，pd∥ma，所以 pd∈平面abcd
又 bc ∈ 平面abcd，因为四边形abcd为正方形，所以 pd⊥ bc
又 pd∩dc=d，因此 bc⊥平面pdc
在△pbc中，因为g平分为pc的中点，所以 gf∥bc
因此 gf⊥平面pdc
又 gf ∈平面efg，所以平面efg⊥平面pdc.
ⅱ ）解：因为pd⊥平面abcd,四边形abcd为正方形，不妨设ma=1，则 pd=ad=2，abcd
所以 vp-abcd=1/3s正方形abcd，pd=8/3
由于 da⊥面mab的距离。
所以 da即为点p到平面mab的距离，三棱锥 vp-mab=1/3×1/2×1×2×2=2/3，所以 vp-mab：ｖp-abcd=1:4。
6. 如图，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直。ef//ac，ab=,ce=ef=1
ⅰ）求证：af//平面bde；
ⅱ）求证：cf⊥平面bdf;
证明：（ⅰ设ac于bd交于点g。因为ef∥ag,且ef=1，ag=ag=1
所以四边形agef为平行四边形。
所以af∥eg
因为eg平面bde,af平面bde,所以af∥平面bde
连接fg。因为ef∥cg,ef=cg=1,且ce=1,所以平行四边形cefg为菱形。所以cf⊥eg.
因为四边形abcd为正方形，所以bd⊥ac.又因为平面acef⊥平面abcd,且平面acef∩平面abcd=ac,所以bd⊥平面acef.所以cf⊥bd.
又bd∩eg=g,所以cf⊥平面bde.
7.如图，在多面体abcdef中，四边形abcd是正方形，ab=2ef=2，ef∥ab,ef⊥fb,∠bfc=90°，bf=fc,h为bc的中点，ⅰ)求证：fh∥平面edb;
ⅱ）求证：ac⊥平面edb;
ⅲ）求四面体b—def的体积；
8.如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。
求证：（1）ef∥平面abc；
2）平面平面。
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