2023年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文史类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，则。
abcd．
2．已知，则双曲线：与：的。
a．实轴长相等 b．虚轴长相等 c．离心率相等 d．焦距相等。
3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为。
abcd．∨
4．四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分。
别得到以下四个结论：
y与x负相关且； ②y与x负相关且；
y与x正相关且； ④y与x正相关且。
其中一定不正确的结论的序是。
abcd． ①
5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶。 与以上事件吻合得最好的图象是。
6．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是。
abcd．
7．已知点、、、则向量在方向上的投影为。
abcd．
8．x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为。
a．奇函数b．偶函数c．增函数d． 周期函数。
9．某旅行社租用、两种型的客车安排900名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆．则租金最少为。
a．31200元b．36000元c．36800元d．38400元。
10．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是。
abcd．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题的位置上。 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
11．为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则。
12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4
则（ⅰ）平均命中环数为命中环数的标准差为。
13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序。 若输入的值为2， 则输出的结果。
14．已知圆：，直线：（）设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 .
15．在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则。
16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水。 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸。
若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸。
注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
17．在平面直角坐标系中，若点的坐标，均为整数，则称点为格点。 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形。 格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为。
例如图中△是格点三角形，对应的，，.
ⅰ）图中格点四边形defg对应的分别是。
ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为，其中a，b，c为常数。 若某格点多边形对应的，， 则用数值作答）.
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分12分）
在△中，角，，对应的边分别是，，.已知。
ⅰ）求角a的大小； （若△的面积，，求的值。
19．（本小题满分13分）
已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分13分）
如图，某地质队自水平地面a，b，c三处垂直向地下钻探，自a点向下钻到a1处发现矿藏，再继续下钻到a2处后下面已无矿，从而得到在a处正下方的矿层厚度为．同样可得在b，c处正下方的矿层厚度分别为，，且。 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为．
ⅰ）证明：中截面是梯形；
ⅱ）在△abc中，记，bc边上的高为，面积为。 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算。 已知，试判断与v的大小关系，并加以证明。
21．（本小题满分13分）
设，，已知函数。
ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
ⅱ）当时，称为、关于的加权平均数。
i）判断， ,是否成等比数列，并证明；
ii）、的几何平均数记为g. 称为、的调和平均数，记为h. 若，求的取值范围。
22．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别。
为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从。
大到小依次为a，b，c，d．记，△和△的面积分别为和。
ⅰ）当直线与轴重合时，若，求的值；
ⅱ）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由．
2023年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文史类）试题参***。
一、选择题：
1．b 2．d 3．a 4．d 5．c 6．b 7．a 8．d 9．c 10．b
二、填空题：
三、解答题：
18．（ⅰ由，得。
即，解得或（舍去）.
因为，所以。
ⅱ）由得。 又，知。
由余弦定理得故。
又由正弦定理得。
19． （设数列的公比为，则，. 由题意得。即。解得
故数列的通项公式为。
ⅱ）由（ⅰ）有。
若存在，使得，则，即
当为偶数时，， 上式不成立；
当为奇数时，，即，则。
综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为。
20． （依题意平面，平面，平面，所以a1a2∥b1b2∥c1c2. 又，，，且。
因此四边形、均是梯形。
由∥平面，平面，且平面平面，可得aa2∥me，即a1a2∥de. 同理可证a1a2∥fg，所以de∥fg.
又、分别为、的中点，则、、、分别为、、、的中点，即、分别为梯形、的中位线。
因此，而，故，所以中截面是梯形。
ⅱ）.证明如下：
由平面，平面，可得。
而em∥a1a2，所以，同理可得。
由是△的中位线，可得即为梯形的高，
因此，即。
又，所以。于是。
由，得，，故。
21． （的定义域为，当时，，函数在，上单调递增；
当时，，函数在，上单调递减。
ⅱ）（i）计算得，，.
故， 即 所以成等比数列。
因，即。 由①得。
ii）由（i）知，.故由，得。
当时，.这时，的取值范围为；
当时，，从而，由在上单调递增与②式，得，即的取值范围为；
当时，，从而，由在上单调递减与②式，得，即的取值范围为。
22． 依题意可设椭圆和的方程分别为，：.其中，
ⅰ）解法1：如图1，若直线与轴重合，即直线的方程为，则，所以。
在c1和c2的方程中分别令，可得，于是。
若，则，化简得。 由，可解得。
故当直线与轴重合时，若，则。
解法2：如图1，若直线与轴重合，则。
所以。 若，则，化简得。 由，可解得。
故当直线与轴重合时，若，则。
ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得。 根据对称性，不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，，则。
因为，，所以。
又，，所以，即。
由对称性可知，所以，于是。
将的方程分别与c1，c2的方程联立，可求得。
根据对称性可知，，于是。
从而由①和②式可得。
令，则由，可得，于是由③可解得。
因为，所以。 于是③式关于有解，当且仅当，等价于。 由，可解得，即，由，解得，所以。
当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；
当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得。
解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得。 根据对称性，不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，，则。
因为，，所以。
又，，所以。
因为，所以。
由点，分别在c1，c2上，可得，两式相减可得，依题意，所以。 所以由上式解得。
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