2023年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(文史类)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集,集合,,则。
abcd.
2.已知,则双曲线:与:的。
a.实轴长相等 b.虚轴长相等 c.离心率相等 d.焦距相等。
3.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为。
abcd.∨
4.四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系,并求得回归直线方程,分。
别得到以下四个结论:
y与x负相关且; ②y与x负相关且;
y与x正相关且; ④y与x正相关且。
其中一定不正确的结论的序是。
abcd. ①
5.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶。 与以上事件吻合得最好的图象是。
6.将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是。
abcd.
7.已知点、、、则向量在方向上的投影为。
abcd.
8.x为实数,表示不超过的最大整数,则函数在上为。
a.奇函数b.偶函数c.增函数d. 周期函数。
9.某旅行社租用、两种型的客车安排900名客人旅行,、两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且型车不多于型车7辆.则租金最少为。
a.31200元b.36000元c.36800元d.38400元。
10.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是。
abcd.
二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题的位置上。 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。
11.为虚数单位,设复数,在复平面内对应的点关于原点对称,若,则。
12.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4
则(ⅰ)平均命中环数为命中环数的标准差为。
13.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序。 若输入的值为2, 则输出的结果。
14.已知圆:,直线:()设圆上到直线的距离等于1的点的个数为,则 .
15.在区间上随机地取一个数x,若x满足的概率为,则。
16.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水。 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸。
若盆中积水深九寸,则平地降雨量是寸。
注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)
17.在平面直角坐标系中,若点的坐标,均为整数,则称点为格点。 若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形。 格点多边形的面积记为,其内部的格点数记为,边界上的格点数记为。
例如图中△是格点三角形,对应的,,.
ⅰ)图中格点四边形defg对应的分别是。
ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为,其中a,b,c为常数。 若某格点多边形对应的,, 则用数值作答).
三、解答题:本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本小题满分12分)
在△中,角,,对应的边分别是,,.已知。
ⅰ)求角a的大小; (若△的面积,,求的值。
19.(本小题满分13分)
已知是等比数列的前项和,,,成等差数列,且。
ⅰ)求数列的通项公式;
ⅱ)是否存在正整数,使得?若存在,求出符合条件的所有的集合;若不存在,说明理由.
20.(本小题满分13分)
如图,某地质队自水平地面a,b,c三处垂直向地下钻探,自a点向下钻到a1处发现矿藏,再继续下钻到a2处后下面已无矿,从而得到在a处正下方的矿层厚度为.同样可得在b,c处正下方的矿层厚度分别为,,且。 过,的中点,且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面,其面积记为.
ⅰ)证明:中截面是梯形;
ⅱ)在△abc中,记,bc边上的高为,面积为。 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体积)时,可用近似公式来估算。 已知,试判断与v的大小关系,并加以证明。
21.(本小题满分13分)
设,,已知函数。
ⅰ)当时,讨论函数的单调性;
ⅱ)当时,称为、关于的加权平均数。
i)判断, ,是否成等比数列,并证明;
ii)、的几何平均数记为g. 称为、的调和平均数,记为h. 若,求的取值范围。
22.(本小题满分14分)
如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别。
为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从。
大到小依次为a,b,c,d.记,△和△的面积分别为和。
ⅰ)当直线与轴重合时,若,求的值;
ⅱ)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得?并说明理由.
2023年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(文史类)试题参***。
一、选择题:
1.b 2.d 3.a 4.d 5.c 6.b 7.a 8.d 9.c 10.b
二、填空题:
三、解答题:
18.(ⅰ由,得。
即,解得或(舍去).
因为,所以。
ⅱ)由得。 又,知。
由余弦定理得故。
又由正弦定理得。
19. (设数列的公比为,则,. 由题意得。即。解得
故数列的通项公式为。
ⅱ)由(ⅰ)有。
若存在,使得,则,即
当为偶数时,, 上式不成立;
当为奇数时,,即,则。
综上,存在符合条件的正整数,且所有这样的n的集合为。
20. (依题意平面,平面,平面,所以a1a2∥b1b2∥c1c2. 又,,,且。
因此四边形、均是梯形。
由∥平面,平面,且平面平面,可得aa2∥me,即a1a2∥de. 同理可证a1a2∥fg,所以de∥fg.
又、分别为、的中点,则、、、分别为、、、的中点,即、分别为梯形、的中位线。
因此,而,故,所以中截面是梯形。
ⅱ).证明如下:
由平面,平面,可得。
而em∥a1a2,所以,同理可得。
由是△的中位线,可得即为梯形的高,
因此,即。
又,所以。于是。
由,得,,故。
21. (的定义域为,当时,,函数在,上单调递增;
当时,,函数在,上单调递减。
ⅱ)(i)计算得,,.
故, 即 所以成等比数列。
因,即。 由①得。
ii)由(i)知,.故由,得。
当时,.这时,的取值范围为;
当时,,从而,由在上单调递增与②式,得,即的取值范围为;
当时,,从而,由在上单调递减与②式,得,即的取值范围为。
22. 依题意可设椭圆和的方程分别为,:.其中,
ⅰ)解法1:如图1,若直线与轴重合,即直线的方程为,则,所以。
在c1和c2的方程中分别令,可得,于是。
若,则,化简得。 由,可解得。
故当直线与轴重合时,若,则。
解法2:如图1,若直线与轴重合,则。
所以。 若,则,化简得。 由,可解得。
故当直线与轴重合时,若,则。
ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得。 根据对称性,不妨设直线:,点,到直线的距离分别为,,则。
因为,,所以。
又,,所以,即。
由对称性可知,所以,于是。
将的方程分别与c1,c2的方程联立,可求得。
根据对称性可知,,于是。
从而由①和②式可得。
令,则由,可得,于是由③可解得。
因为,所以。 于是③式关于有解,当且仅当,等价于。 由,可解得,即,由,解得,所以。
当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得;
当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得。
解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得。 根据对称性,不妨设直线:,点,到直线的距离分别为,,则。
因为,,所以。
又,,所以。
因为,所以。
由点,分别在c1,c2上,可得,两式相减可得,依题意,所以。 所以由上式解得。
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