同构式精练(1)——教师版。
1、同构小套路:
1. 指对各一边,参数是关键;
2.常用“母函数”:,寻找“亲戚函数”是关键;
3.信手拈来凑同构,凑常数、、参数:
4.复合函数(亲戚函数)比大小,利用单调性求参数范围。
二、常用的几个以为母函数的“亲戚函数”!
三、习题。1.对于任意的不等式恒成立,则的取值范围是。
解:由题意知,,故只需,,.
2.设,若存在正实数,使得不等式成立,则的最大值为 .解:,即。
3.设实数,若对任意的,不等式恒成立,则的取值范围是 .
解:,即恒成立,,.
4.设实数,若对任意的,不等式恒成立,则的最小值为 .
解:,即恒成立,.
5.设实数,若对任意的,若不等式恒成立,则的最大值为 .
解:,解得(注意定义域).
6.对任意的,不等式恒成立,求实数的最大值 .
解:由题意得,即,.
7.已知函数,若不等式在上恒成立,则实数的取值范围是 .
解:由题意得:,右边凑1,得,得。(说明:定义域大于零,所以,成立).
8.对,不等式恒成立,则实数的最小值为 .
解:由题意得:,令,,即,即。
9.已知,不等式对任意的实数恒成立,则实数的最小值是 .
解:由题意得:对恒成立,此时,即。
10.已知函数,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为 .
解:由题意可知:,(两边同时加),构成同构式,只需,.
11.已知是方程的实根,则关于实数的判断正确的是 .
abcd.解:由。
12. 对任意的,恒有,求实数的最小值 .
解:由题意得:,即,得。
13.若关于的方程只有一个实数解,则的取值范围是 .
解:由题意得,令,则由图像易得或,所以或。
2019广州市月考】已知函数,.
求函数的单调区间;
若对恒成立,求实数的取值范围.
解:第一问略。
2)由题意得:,右边式子凑1得,即,因为,当且仅当等号成立,所以满足即可,当且仅当,即等号成立,所以。
2014全国卷1压轴】设函数,曲线在点处的切线方程为。
1)求,;2)证明:.
解:略。由知,,要证,即证,得,构造函数,即证,显然,当仅当时等号成立,因为时,;时,,取等条件明显不一致,所以显然不存在,故,即.
2018全国卷1压轴】已知函数.
1)设是的极值点,求,并求的单调区间;
2)证明:当时,.
解:函数.,,是的极值点,,解得,,,当时,,当时,,在单调递减,在单调递增.
2)证明:当时,,即只需要证明,,构造,则对恒成立,故只需证恒成立,当时,.
2019东城区月考】已知函数.
1)求的单调区间;
2)设,其中,若恒成立,求的取值范围。
解:略。由题意得:,因为,当且仅当时等号成立,因为,所以等价于证:,当且仅当时等号成立,所以。
2019南康月考】已知函数,为的导函数.
1)令,试讨论函数的单调区间;
2)证明:.
解:(1)略;
2)由题意得:,因为(当且仅当时等号成立),等价于证明,构造,则,易知。
2019长春二模】已知函数.
1)讨论的单调性;
2)若方程有两个实数根,求实数的取值范围.
解:(1)略;
2)由题意得:有两解,得,构造,易得,所以,当且仅当时等号成立,要使方程有两个实根,则需满足,得。
2019衡水金卷】已知.
1)若,求的单调区间;
2)若的最小值为,求证.
解:(1)略;
2)构造,则,则,,,接下来分类讨论:1,当,则,成立;
2,当,则,得,成立;3,当,则,得;综上得证。
2019佛山二模】已知函数,其中。
1)若,证明:是定义域上的增函数;
2)是否存在,使得在处取得极小值?说明理由。
解(1)略;
2)构造,则,当且仅当时等号成立,即,因为在处取得最小值,所以,这里需说明以及矛盾(方法同上题衡水金卷).
2019聊城期末】已知函数.(为常数)
1)当时,讨论函数在区间上的单调性;
2)若,若对任意的,恒成立,求实数的取值范围。
解:(1)略;
2)由题意得:,即,右边凑1,得,构造,则,即,当且仅当时取等号,所以只需满足。
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