解答题专练一试题及答案。
17. 如图,单位圆(半径为1的圆)的圆心为坐标原点,单位圆与轴的正半轴交与点,与钝角的终边交于点,设。
(ⅰ)用表示;
ⅱ)如果,求点的坐标;
(ⅲ)求的最小值。
解:(ⅰ如图。
ⅱ)由,又,得 .
由钝角,知 .
ⅲ)【法一】,
又,,的最小值为。
法二】为钝角,, 的最小值为。
18. 某校学生会组织部分同学,用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度。现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):
1) 指出这组数据的众数和中位数;
2)若幸福度不低于9.5分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人,至多有1人是“极幸福”的概率;
3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“极幸福”的人数,求的分布列及数学期望。
解:(1)众数:8.6; 中位数:8.75 ;
2)设表示所取3人中有个人是“极幸福”,至多有1人是“极幸福”记为事件,则 ;
3)的可能取值为0,1,2,3
所以的分布列为:
19.如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为直角梯形,ad//bc,∠adc=90°,平面pad⊥底面abcd,q为ad的中点,m是棱pc上的点,pa=pd=2,bc=ad=1,cd=.
ⅰ)求证:平面pqb⊥平面pad;
ⅱ)设pm=t mc,若二面角m-bq-c的平面角的。
大小为30°,试确定t的值.
i)∵ad //bc,bc=ad,q为ad的中点,四边形bcdq为平行四边形,∴cd //bq .
∠adc=90° ∴aqb=90° 即qb⊥a d.
又∵平面pad⊥平面abcd 且平面pad∩平面abcd=ad,
bq⊥平面pa d.∵bq平面pqb,∴平面pqb⊥平面pa d7分。
另证:ad //bc,bc=ad,q为ad的中点, ∴四边形bcdq为平行四边形,∴cd //bq .
∠adc=90° ∴aqb=90°. pa=pd, ∴pq⊥a d.
pq∩bq=q,∴ad⊥平面pbq. ∵ad平面pad,∴平面pqb⊥平面pa d.……7分。
ii)∵pa=pd,q为ad的中点, ∴pq⊥ad.
平面pad⊥平面abcd,且平面pad∩平面abcd=ad,
pq⊥平面abc d.
如图,以q为原点建立空间直角坐标系.
则平面bqc的法向量为;,.
设,则,11分。
在平面mbq中, 平面mbq法向量为.∵二面角m-bq-c为30°,15分。
23.选修4—4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知圆c的圆心,半径。
(ⅰ)求圆c的极坐标方程;
ⅱ)若,直线的参数方程为(为参数),直线交圆于两点,求弦长的取值范围.
(1)由得,c直角坐标(1,1),所以圆c的直角坐标方程为。
由得,圆c的直角坐标方程为。
2)将带入c的直角坐标方程得。
则 设a,b对应参数分别为,则,
因为,所以所以 ,所以的取值范围为
24. 选修4—5:不等式选讲。
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