《数学实验与数学建模》作业。
—运用mathematic解决实际问题。
姓名。学号。
学院电子信息工程学院。
班级。指导教师范秉理。
时间2023年12月。
一、投篮的出手角度问题。
问题描述】篮球比赛中,比赛队员投篮命中率对于本队的取胜起着决定性作用。实践表明,影响投篮命中率有两个关键因素:出手角度和出手速度。
在各种投篮方式中,罚球是最简单同时也是很重要的投篮方式。假设罚球时不考虑出手后球自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况,且篮球中心到篮框中心的水平距离为,篮框中心的高度为,篮球运动员出手的高度为,出手速度为。请研究在此情况下,投篮的出手角度为多少才能使命中率最高。
问题分析】不考虑篮球和球框的大小,将篮球和球框看作在其中心处的一个点,讨论球心命中球框中心且球入框的投篮出手角度。
首先定义一些符号的意义:
篮球中心到篮框中心的水平距离,单位为,这里;
篮框中心的高度,单位为,这里;
篮球运动员出手的高度,单位为,这里;
投篮出手速度,单位为,这里;
重力加速度,单位为,这里;
投篮出手角度;
问题建模求解】
取球没出手时的球心o为坐标系原点,x轴为水平方向,y轴为竖直方向,建立坐标系。
于是,球的运动可以看作是一个质点的斜抛运动。设坐标(x(t),y(t))是在球出手t时刻后球心的坐标,由假设,可以得到如下运动参数方程:
在方程式中消去参数,可以得到球心的运动轨迹为抛物线,即:
要使球心命中球框,则有点(l,h-h)满足式(2),于是用代入,有:
利用关系式,将方程式(3)化简为:
式(4)是关于的一元二次方程,求出其根,即得到球心命中框心的条件为:
将该公式写为函数;
用mathematica输入函数并代入数值可得角度α;如下截图:
可得此时投篮出手角度为68.3367°时,命中率高;
将f公式中的正号换为负号再输入,可得截图如下。
可得此时投篮出手角度为34.5214°时,命中率高;
分析结论:根据本题情景及实际(34.5214°出手比68.3367°更容易),可得出在此题中投篮出手角度为34.5°左右时,投篮命中框心的命中率最高。
二、贮存模型。
问题描述】已知某产品日需求量100件,生产准备费5000元,贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划,即多少天生产一次(生产周期),每次产量多少,使总费用最小。
这种产品是配件厂为装配线生产的,轮换产品时因更换设备要付生产准备费,产量大于需求时要付贮存费。由于是装配线生产,不允许配件厂缺货,这样配件厂生产能力非常大,即所需的数量可在很短时间内产生。
问题分析】每天生产一次,每次100件,无贮存费,准备费5000元,平均每天费用5000元。10天生产一次,每次1000件,贮存费4500元,准备费5000元,总计9500元;平均每天950元。50天生产一次,每次5000件,贮存费122500元,准备费5000元,总计127500元;平均每天费用2550元。
由此可见,周期短,产量小,必然贮存费少,准备费多;周期长,产量大,必然准备费少,贮存费多。于是理论上存在最近周期和产量,使总费用(贮存费,准备费之和)最小。
问题建模求解】
设产品每天的需求量为;每次生产费为;每天每件产品贮存费为;天生产一次(周期),每次生产件,当贮存量为零时,件产品立即到来(生产时间不计);为方便起见,时间和产量都作为连续量处理。
离散问题连续化处理,于是贮存量表示为时间的函数,以为周期的周期函数。
时生产件,即, 以需求速率递减,。显然,。
利用微元法,一周期贮存费为:
于是一周期总费用为:
从而每天总费用平均值(目标函数):
由此得到模型求。
本题中。用mathematica软件将该目标函数输入,并将已知量代入,可得如下截图:
由此可得天,件时,最小。
分析结论:对于本问题,10天生产一次(生产周期),每次产量1000件,使总费用最小。
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