4.1.1 圆的标准方程。
1、圆的标准方程：
圆心为a(a,b),半径为r的圆的方程。
2、点与圆的关系的判断方法：
1）>，点在圆外 （2）=，点在圆上。
3）<，点在圆内。
4.1.2 圆的一般方程。
1、圆的一般方程：
2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数d、e、f，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系。
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
1）当时，直线与圆相离；（2）当时，直线与圆相切；
3）当时，直线与圆相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系。
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；
3）当时，圆与圆相交；
4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用。
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法。
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
4.3.1空间直角坐标系。
1、点m对应着唯一确定的有序实数组，、、分别是p、q、r在、、轴上的坐标。
2、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点。
3、空间中任意点m的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点m在此空间直角坐标系中的坐标，记m，叫做点m的横坐标，叫做点m的纵坐标，叫做点m的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式。
1、空间中任意一点到点之间的距离公式。
同步检测。第四章圆与方程
一、选择题，1．若圆c的圆心坐标为(2，－3)，且圆c经过点m(5－7)，则圆c的半径为( )
ab．5c．25d．
2．过点a(1，－1)，b(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
a．(x－3)2＋(y＋1)2＝4b．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
c．(x－1)2＋(y－1)2＝4d．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
3．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )
a．(x－3)2＋(y＋4)2＝16b．(x＋3)2＋(y－4)2＝16
c．(x－3)2＋(y＋4)2＝9d．(x＋3)2＋(y－4)2＝19
4．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )
a．0或2b．2cd．无解。
5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是( )
a．8b．6c．6d．4
6．两个圆c1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与c2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为( )
a．内切b．相交c．外切d．相离。
7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为a，b，则线段ab的垂直平分线的方程是( )
a．x＋y－1＝0b．2x－y＋1＝0
c．x－2y＋1＝0d．x－y＋1＝0
8．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有( )
a．4条b．3条c．2条d．1条。
9．在空间直角坐标系中，已知点m(a，b，c)，有下列叙述：
点m关于x轴对称点的坐标是m1(a，－b，c)；
点m关于yoz平面对称的点的坐标是m2(a，－b，－c)；
点m关于y轴对称的点的坐标是m3(a，－b，c)；
点m关于原点对称的点的坐标是m4(－a，－b，－c)．
其中正确的叙述的个数是( )
a．3b．2c．1d．0
10．空间直角坐标系中，点a(－3，4，0)与点b(2，－1，6)的距离是( )
a．2b．2c．9d．
二、填空题。
11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ．
12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ．
13．以点c(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是。
14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值。
15．圆心为c(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为。
16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦ab的中点为p(3，1)，则直线ab的方程是。
三、解答题。
17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．
18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．
19．求经过a(4，2)，b(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．
20．求经过点(8，3)，并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程．
第四章圆与方程
参***。一、选择题。
1．b圆心c与点m的距离即为圆的半径，＝5．
2．c解析一：由圆心在直线x＋y－2＝0上可以得到a，c满足条件，再把a点坐标。
1，－1)代入圆方程．a不满足条件．
选c．解析二：设圆心c的坐标为(a，b)，半径为r，因为圆心c在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a．由|ca|＝|cb|，得(a－1)2＋(b＋1)2＝(a＋1)2＋(b－1)2，解得a＝1，b＝1．
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
3．b解析：∵与x轴相切，∴r＝4．又圆心(－3，4)，圆方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝16．
4．b解析：∵x＋y＋m＝0与x2＋y2＝m相切，(0，0)到直线距离等于．
＝，m＝2．
5．a解析：令y＝0，(x－1)2＝16．
x－1＝±4，x1＝5，x2＝－3．
弦长＝|5－(－3)|＝8．
6．b解析：由两个圆的方程c1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，c2：
(x－2)2＋(y－1)2＝4可求得圆心距d＝∈(0，4)，r1＝r2＝2，且r 1－r 2＜d＜r 1＋r2故两圆相交，选b．
7．a解析：对已知圆的方程x2＋y2－2x－5＝0，x2＋y2＋2x－4y－4＝0，经配方，得。
x－1)2＋y2＝6，(x＋1)2＋(y－2)2＝9．
圆心分别为 c1(1，0)，c2(－1，2)．
直线c1c2的方程为x＋y－1＝0．
8．c解析：将两圆方程分别配方得(x－1)2＋y2＝1和x2＋(y＋2)2＝4，两圆圆心分别为o1(1，0)，o2(0，－2)，r1＝1，r2＝2，|o1o2|＝＝又1＝r2－r1＜＜r1＋r2＝3，故两圆相交，所以有两条公切线，应选c．
9．c解：①②错，④对．选c．
10．d解析：利用空间两点间的距离公式．
二、填空题。
解析：圆心到直线的距离d＝＝3，动点q到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝2．
12．(x－1)2＋(y－1)2＝1．
解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为 1．
故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝1．
13．(x＋2)2＋(y－3)2＝4．
解析：因为圆心为(－2，3)，且圆与y轴相切，所以圆的半径为2．故所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝4．
14．0或±2．
解析：当两圆相外切时，由|o1o2|＝r1＋r2知＝6，即a＝±2．
当两圆相内切时，由|o1o2|＝r1－r2(r1＞r2)知。
4，即a＝0．
a的值为0或±2．
15．(x－3)2＋(y＋5)2＝32．
解析：圆的半径即为圆心到直线x－7y＋2＝0的距离；
16．x＋y－4＝0．
解析：圆x2＋y2－4x－5＝0的圆心为c(2，0)，p(3，1)为弦ab的中点，所以直线ab与直线cp垂直，即kab·kcp＝－1，解得kab＝－1，又直线ab过p(3，1)，则所求直线方程为x＋y－4＝0．
三、解答题。
17．x2＋y2＝36．
解析：设直线与圆交于a，b两点，则∠aob＝120°，设。
所求圆方程为：x2＋y2＝r2，则圆心到直线距离为，所。
以r＝6，所求圆方程为x2＋y2＝36．
(第17题)
18．x2＋y2－ax－by＝0．
解析：∵圆过原点，∴设圆方程为x2＋y2＋dx＋ey＝0．
圆过(a，0)和(0，b)，a2＋da＝0，b2＋be＝0．
又∵a≠0，b≠0，d＝－a，e＝－b．
故所求圆方程为x2＋y2－ax－by＝0．
19．x2＋y2－2x－12＝0．
解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0．
a，b两点在圆上，代入方程整理得：
d－3e－f＝10
4d＋2e＋f＝－20 ②
设纵截距为b1，b2，横截距为a1，a2．在圆的方程中，令x＝0得y2＋ey＋f＝0，b1＋b2＝－e；令y＝0得x2＋dx＋f＝0，∴a1＋a2＝－d．
由已知有－d－e＝2．③
②③联立方程组得d＝－2，e＝0，f＝－12．
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0．
20．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
根据题意：r＝＝2，圆心的横坐标a＝6＋2＝8，所以圆的方程可化为：(x－8)2＋(y－b)2＝4．
又因为圆过(8，3)点，所以(8－8)2＋(3－b)2＝4，解得b＝5或b＝1，所求圆的方程为(x－8)2＋(y－5)2＝4或(x－8)2＋(y－1)2＝4．
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