一、函数的定义(概念)
一、映射，一一映射，单射和满射。
1、单射：设f是由集合a到集合b的映射，如果x,y∈a,且x≠y等价于f(x)≠f(y),则称f为由a到b的单射。可理解成“源不同则像不同”。
2、满射：值域任何元素都有至少有一个变量与之对应。形式化的定义如下：
若函数为满射，则对任意b，存在a满足f(a) =b。
二、函数的三要素：定义域，值域，对应关系。
2．(2007广东理1)已知函数的定义域为m, g(x)=ln(1+x)的定义域为n，则m∩n =（
a． b． c． d．
26、（湖北文5分）5．函数的定义域为。
ab． cd．
的定义域和值域。
求。二、函数的单调性。
一、定义。二、判断单调性的方法：
1）定义法：①在给定的区间上任取，，且设；② 作差；③定号下结论；
2)作商法：
若为区间上的单调递增函数，、为区间内两任意值，那么有：
或。若为区间上的单调递减函数，、为区间内两任意值，那么有：
或。3）复合函数的单调性：对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性。同增异减。
4）由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断：
对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且：
1)当和具有相同的增减性时，函数的增减性与(或)相同，、、的增减性不能确定；
2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：
增函数，的增减性不能确定；
5）导数法：对y=f(x)求导
三、复合函数的定义域，值域，单调性。
四、导数。1、定义。
问：,2、几何意义。
3、基本初等函数的导数公式。
求切线方程时，把在某点处的切线与过某点的切线混淆。
求函数在图像上某点处的切线方程是导数的重要应用之一。当点p在曲线上时，求过点p的切线方程有以下两种可能的情形：一是p点就是切点，二是切线以曲线上另一点为切点，但该切线经过点p。
注意：曲线在点p的切线，只指前一种情形。
4、复合函数的导数公式。
例题：5、利用导数判断函数的单调性。
求的单调区间求的单调区间。
注意：，但。
但。例3 求函数的单调递增区间。
错解：由题意，得令得解得。
又∵函数的定义域是（0，+∞函数的单调递增区间是（0,1）和（1,+
剖析：对于的解集中的断开点的连续性，我们要进行研究，不能草率地下结论。此题就是错在对函数在x=1处是否连续没有进一步研究，显然函数在x=1处是连续的，所以函数的单调递增区间是（0,+
正确答案：（0,+
五、反函数。
其实如果a→b是一一映射，那么就存在b→a的逆映射，且该映射亦为一一映射。这两个映射也是原函数和反函数对应的两个映射
一般来说，若一个函数具有严格的单调性，则该函数的定义域与值域之间存在一一映射关系。
一个函数的反函数存在的条件：若函数在定义域内单调，则该函数在此定义域内存在反函数，且唯一。
反函数的求法：(1)互换x,y(2)用x来表达y
原函数和反函数的性质：
1）原函数的定义域为饭函数的值域。
2）原函数的值域为饭函数的定义域。
3）原函数与反函数的图像关于y=x对称。
4）原函数与反函数的单调性相同。
反三角函数的图像和性质。
三、函数的奇偶性。
一、关于函数的奇偶性的定义。
定义说明：对于函数的定义域内任意一个：
是偶函数；奇函数；
函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。
二、关于函数按奇偶性的分类。
全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。
三、函数的奇偶性的几个性质。
、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称， 且函数的定义域关于原点对称是函数成为奇(偶)函数的必要条件。
、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
、可逆性： 是偶函数；
奇函数；、等价性：
、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；
注意函数y=f(x)与y=kf(x)的单调性与k(k≠0)的相关性；
(2)若函数是奇函数，且在处有定义，那么
3)任何一个定义域关于原点对称的函数，都可以写成一个偶函数加一个奇函数的形式。
例的定义域关于原点对称，则为偶函数，
为奇函数，且。
四、函数的奇偶性的判断。
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、相等，判断步骤如下：
1、 定义域是否关于原点对称；
2、 数量关系哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性。
解：⑴为奇函数为偶函数为非奇非偶函数
为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数。
注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。
例2：判断函数的奇偶性。
第二种方法：
求两个函数加（减）、积是否为奇偶函数时，首先应该求两函数的定义域，再判。
断两函数的定义域交集是否关于原点对称。在判断两函数定义域关于原点对称后可。
以利用以下结论：
两个奇函数的和是奇函数；
两个偶函数的和是偶函数；
两个奇函数的积是偶函数；
两个偶函数的积是偶函数；
奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数。
一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。
命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。
此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
命题2 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。
此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。
命题3 如果函数f(x)满足：|f(x)|=f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。
此命题错误。如函数f(x)= 从图像上看，f(x)的图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故此函数非奇非偶。
命题4的定义域关于原点对称， 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。
此命题正确。由函数奇偶性易证。
命题5 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。
此命题正确。由奇函数的定义易证。
命题6 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。
此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x0)=0，则f(-x0)=0。
对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命题成立。
五、关于函数奇偶性的简单应用。
1、利用奇偶性求函数值。
例1：已知且，那么。
2、利用奇偶性比较大小。
例2：已知偶函数在上为减函数，比较，，的大小。
3.利用奇偶性求解析式。
例3：已知为偶函数，求的解析式？
4、利用奇偶性讨论函数的单调性。
例4：若是偶函数，讨论函数的单调区间？
5、利用奇偶性判断函数的奇偶性。
例5：已知函数是偶函数，判断的奇偶性。
6、利用奇偶性求参数的值。
例6：定义在r上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？
7、利用图像解题。
例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时， f(x)的图象如右图，则不等式的解是。
8.利用定**题。
例8.已知函数，若为奇函数，则___
四、周期性。
一、定义：对于函数，如果存在一个非零常数t，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，t为这个函数的周期。
二、函数的周期性的主要结论：
结论1：如果（），那么是周期函数，其中一个周期。
结论2：如果（），那么是周期函数，其中一个周期。
结论3：如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，那么是周期函数，其中一个周期。
结论4：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期。
结论5：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期。
结论6：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期。
结论7：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期。
结论8：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期。
结论9：如果或，那么是周期函数，其中一个周期。
结论10：如果或，那么是周期函数，其中一个周期。
结论11：如果，那么是周期函数，其中一个周期。
五、函数的对称性：
一、函数自对称。
1）关于轴对称的函数（偶函数）的充要条件是。
2）关于原点对称的函数（奇函数）的充要条件是。
3）关于直线对称的函数的充要条件是（反函数为本身）
二、两个函数的图象对称性。
1）与关于轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
2）与关于轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
3）与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
4）与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
5）关于点对称。
换种说法：与若满足，即它们关于点对称。
6）与关于直线对称。
7）与关于直线对称。
六、基本初等函数：指数，对数，幂函数。
一、指数函数。
二、对数函数。
换底公式。三、幂函数。
七、函数的应用：
一、函数与方程。
1、方程的根与函数的零点。
2、用二分法求方程的近似解。
二、函数模型及其应用。
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