1、已知：如图，在正方形abcd中，点e、f分别在边bc和cd上，∠bae =∠daf．
1）求证：be = df；
2）联结ac交ef于点o，延长oc至点m，使om = oa，联结em、fm．
求证：四边形aemf是菱形．
2、如图8，已知梯形中，， 分别是、的中点，点在。
边上，且．1）求证：四边形是平行四边形；
2）联结，若平分，求证：四边形是矩形．
3、如图，在等腰梯形abcd中，∠c=60°，ad∥bc，且ad=ab=dc，e、f分别在ad、dc的延长线上，且de=cf，af、be交于点p。
1）求证：af=be；
2）请猜测∠bpf的度数，并证明你的结论。
4、如图，在矩形abcd中，bm⊥ac，dn⊥ac，m、n是垂足。
1）求证：an=cm；
（2）如果an=mn=2，求矩形abcd的面积。
5.如图。在平行四边形中，为对角线的交点，点为线段延长线上的一点，且。过点作∥，交于点，联结。
1）求证：∥；
2）如果梯形是等腰梯形，判断四边形的形状，并给出证明。
6、如图，在正方形abcd中，点e、f分别是边ab、ad的中点，de与cf相交于g，de、cb的延长线相交于点h，点m是cg的中点．
求证：（1）bm//gh；
2）bm⊥cf．
7．已知：如图，ae∥bf，ac平分∠bad，交bf于点c，bd平分∠abc，交ae于点d，联结cd.求证：四边形abcd是菱形．
8．如图，在正方形中，点、分别是边、的中点，与相交于，、的延长线相交于点，点是的中点。
求证：（1） (2)
9．已知：如图，在梯形abcd中，ad//bc，ab=cd，点e、f在边bc上，be=cf，ef=ad．
求证：四边形aefd是矩形．
10．如图，在□abcd中，e、f分别为边abcd的中点，bd是对角线，过a点作ag//db交cb的延长线于点g．
1）求证：de∥bf；
2）若∠g＝，求证：四边形debf是菱形．
11．已知：如图，在梯形abcd中，ad//bc，bc=2ad，ac⊥ab，点e是ac的中点，de的延长线与边bc相交于点f．
求证：四边形afcd是菱形．
12．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）
已知：如图，在梯形abcd中，ad //bc，点e、f在边bc上，de //ab，af //cd，且四边形aefd是平行四边形．
1）试判断线段ad与bc的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
2）现有三个论断：①ad = ab；②∠b +∠c
90°；③b = 2∠c．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形aefd是菱形．
13．已知：如图，矩形纸片abcd的边ad=3，cd=2，点p是边cd上的一个动点（不与点c重合，把这张矩形纸片折叠，使点b落在点p的位置上，折痕交边ad与点m，折痕交边bc于点n .
1）写出图中的全等三角形。 设cp=，am=，写出与的函数关系式；
2）试判断∠bmp是否可能等于90°. 如果可能，请求出此时cp的长；如果不可能，请说明理由。
14、已知边长为1的正方形abcd中， p是对角线ac上的一个动点（与点a、c不重合），过点p作 pe⊥pb ，pe交射线dc于点e，过点e作ef⊥ac，垂足为点f.
1）当点e落**段cd上时（如图10）， 求证：pb=pe；
在点p的运动过程中，pf的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；
2）当点e落**段dc的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断。
上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；
3）在点p的运动过程中，⊿pec能否为等腰三角形？如果能，试求出ap的长，如果。
不能，试说明理由．
15、如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点。
1) 求点的坐标。
2) 请判断△的形状并说明理由。
3) 动点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路线向点匀速运动（不与点、重合），过点分别作轴于，轴于。设运动秒时，矩形与△重叠部分的面积为。求与之间的函数关系式。
16．已知：如图，梯形中，∥，是直线上一点，联结，过点作交直线于点．联结．
1）若点是线段上一点（与点、不重合），（如图1所示）
求证：．设，△的面积为，求关于的函数解析式，并写出此函数的定义域．
2）直线上是否存在一点，使△是△面积的3倍，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由．
17．已知： o为正方形abcd对角线的交点，点e在边cb的延长线上，联结eo，of⊥oe交ba延长线于点f，联结ef（如图4）。
1） 求证：eo=fo；
2） 若正方形的边长为2， oe=2oa，求be的长；
3） 当oe=2oa时，将△foe绕点o逆时针旋转到△f1oe1，使得∠boe1=时，试猜想并证明△aoe1是什么三角形。
18．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题3分）
如图，在正方形abcd中，点e、f分别在bc、ad的延长线上，且ea⊥cf，垂足为h，ae与cd相交于点g．
1）求证：ag=cf；
2）当点g为cd的中点时（如图1），求证：fc=fe；
3）如果正方形abcd的边长为2，当ef=ec时（如图2），求dg的长．
答案。1．证明：（1）∵正方形abcd，∴ab=ad，∠b =∠d=902分）
∠bae = daf
△abe≌△adf1分）
be = df2分）
2）∵正方形abcd，∴∠bac =∠dac1分）
bae =∠daf ∴∠eao =∠fao1分）
△abe≌△adf ∴ae = af1分）
eo=fo ，ao⊥ef2分）
om = oa ∴ 四边形aemf是平行四边形1分）
ao⊥ef ∴四边形aemf是菱形1分）
2．（1）证明：联结eg， 梯形中，，且、分别是、的中点， eg//bc，且2分）
又∵ eg=bf1分）
四边形是平行四边形．……2分）
2）证明：设af与eg交于点o，eg//ad，∴∠dag=∠age
平分，∴∠dag=∠gao
∠gao=∠age
ao=go2分）
四边形是平行四边形， af=eg，四边形是矩形2分）
3．证明：（1）∵梯形abcd是等腰梯形，ad∥bc
∠bae=∠adf1分）
ad= dc ∴ ae=df1分）
ba=ad ∴△bae≌△adf1分）
be=af1分）
2）猜想∠bpf=1201分）
由（1）知△bae≌△adf，∴∠abe=∠daf1分）
∠bpf=∠abe+∠bap=∠bae1分）
而ad∥bc，∠c=∠abc=60°，∴120°．
∠bpf=∠bae =1201分）
4、证：（1）∵四边形abcd是矩形，ad∥bc，ad=bc.
∠dac=∠bca.
又∵dn⊥ac，bm⊥ac，∠dna=∠bmc.
⊿dan≌⊿bcm3分）
an=cm1分）
（2）联结bd交ac于点o，an = nm=2,ac = bd =6,又∵四边形abcd是矩形，ao=do=3，在⊿odn中，od=3，on=1，∠ond=,dn2分）
矩形abcd的面积1分）
5.解：（1）方法1：延长交于（如图1）.…1分。
在平行四边形中，∥，
∥，∥四边形是平行四边形。
.…1分。
又∵， 1分。
在和中，≌（分。
四边形是平行四边形，∴.
1分。方法2：将线段的中点记为，联结（如图2）. 1分。
四边形是平行四边形，∴.1分。
在和中，≌（分。
又∵∥，四边形是平行四边形1分。1分。
证明题 四边形
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