习题13
1. 根据函数极限的定义证明：
证明 (1)分析 |(3x1)8||3x9|3|x3|, 要使|(3x1)8| ,只须。
证明因为 0, ,当0|x3|时， 有|(3x1)8| ,所以。
(2)分析 |(5x2)12||5x10|5|x2|, 要使|(5x2)12| ,只须。
证明因为 0, ,当0|x2|时， 有|(5x2)12| ,所以。
(3)分析， 要使， 只须。
证明因为 0, ,当0|x(2)|时， 有， 所以。
(4)分析， 要使， 只须。
证明因为 0, ,当时， 有， 所以。
2. 根据函数极限的定义证明：
证明 (1)分析， 要使， 只须， 即。
证明因为 0, ,当|x|x时， 有， 所以。
(2)分析， 要使， 只须， 即。
证明因为0, ,当xx时， 有， 所以。
3. 当x2时， yx24. 问等于多少， 使当|x2|《时， |y4|<0. 001？
解由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x3. 要使|x24||x2||x2|5|x2|0. 001, 只要， 取0.
0002, 则当0|x2|时， 就有|x24|0. 001.
4. 当x时， ,问x等于多少， 使当|x|>x时， |y1|<0.01?
解要使， 只，.
5. 证明函数f(x)|x| 当x0时极限为零。
6. 求当x0时的左﹑右极限， 并说明它们在x0时的极限是否存在。
证明因为 所以极限存在。
因为。所以极限不存在。
7. 证明： 若x及x时， 函数f(x)的极限都存在且都等于a, 则。
证明因为， ,所以》0,
x10, 使当xx1时， 有|f(x)a| ;
x20, 使当xx2时， 有|f(x)a| .
取xmax, 则当|x|x时， 有|f(x)a| ,即。
8. 根据极限的定义证明： 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。
证明先证明必要性。 设f(x)a(xx0), 则》0, 0, 使当0<|xx0|< 时， 有。
f(x)a|<
因此当x0|f(x)a|<
这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于a .
再证明充分性。 设f(x00)f(x00)a, 则》0,
1>0, 使当x01 2>0, 使当x0取min, 则当0<|xx0|< 时， 有x01| f(x)a|<
即f(x)a(xx0).
9. 试给出x时函数极限的局部有界性的定理， 并加以证明。
解 x时函数极限的局部有界性的定理如果f(x)当x时的极限存在则存在x0及m0 使当|x|x时 |f(x)|m
证明设f(x)a(x) 则对于 1 x0 当|x|x时有|f(x)a| 1 所以。
|f(x)||f(x)aa||f(x)a||a|1|a|
这就是说存在x0及m0 使当|x|x时 |f(x)|m 其中m1|a|
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