例1如图1-125，pc⊥平面abc，ab＝bc=ca＝pc，求二面角b－pa－c的平面角的正切值。
分析由pc⊥平面abc，知平面abc⊥平面pac，从而b在平面pac上的射影在ac上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。
解∵ pc⊥平面abc
∴平面pac⊥平面abc，交线为ac作bd⊥ac于d点，据面面垂直性质定理，bd⊥平面pac，作de⊥pa于e，连be，据三垂线定理，则be⊥pa，从而∠bed是二面角b－pa－c的平面角。
设pc＝a，依题意知三角形abc是边长为a的正三角形，∴ d是
∵pc = ca=a，∠pca=90°，∴pac＝45°∴在rt△dea
评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。
例2 在60°二面角m－a－n内有一点p，p到平面m、平面n的距离分别为1和2，求点p到直线a的距离。（图1－126）
分析设pa、pb分别为点p到平面m、n的距离，过pa、pb作平面α，分别交m、n于aq、bq.
同理，有pb⊥a，∵pa∩pb=p，∴a⊥面paqb于q
又 aq、bq
平面paqb
∴aq⊥a，bq⊥a.
∴∠aqb是二面角m－a－n的平面角。
∴∠aqb＝60°
连pq，则pq是p到a的距离，在平面图形paqb中，有。
∠paq＝∠pbq=90°
∴p、a、q、b四点共圆，且pq是四边形paqb的外接圆的直径2r
在△pab中，∵pa=1，pb=2，∠bpa＝180°-60°=120°，由余弦定理得。
ab2＝1＋4-2×1×2cos120°＝7
由正弦定理：
评注本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角。
例3 如图1-127过正方形abcd的顶点a作pa⊥平面abcd，设pa=ab＝a求（1）二面角b－pc－d的大小；（2）平面pab和平面pcd所成二面角的大小。
分析二面角b－pc－d的棱为pc，所以找平面角作棱的垂线，而平面pab和平面pcd所成二面角“无棱”须找二面角的棱。
解（1）∵ pa⊥平面abcd，bd⊥ac
∴bd⊥pc（三垂线定理）
在平面pbc内，作be⊥pc，e为垂足，连结de，得pc⊥平面bed，从而de⊥pc，即∠bed是二面角b－pc－d的平面角。
在rt△pab中，由pa＝ab=a
∵pa⊥平面abcd，bc⊥ab
∴bc⊥pb（三垂线定理）
在rt△pbc中，在△bde中，根据余弦定理，得。
∴∠bed＝120°
即二面角b－pc－d的大小为120°。
（2）过p作pq∥ab，则pq
平面pab，∵ ab∥cd ∴pq∥cd，pq
平面pcd∴平面pab∩平面pcd于pq
∵pa⊥ab，ab∥pq ∴ pa⊥pq
∵pa⊥平面abcd，cd⊥ad
∴cd⊥pd（三垂线定理的逆定理）
∵pq∥cd∴ pd⊥pq
所以∠apd是平面pab和平面pcd所成的二面角的平面角。
∵pa＝ab=ad，∴∠apd=45°
即平面pab和平面pcd所成的二面角为45°。
评注在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角。
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