考点55 不等式选讲。
一、选择题。
1.（2013·安徽高考理科·ｔ4）“a≤0”“是函数在区间内单调递增”的 （
a. 充分不必要条件 b.必要不充分条件。
c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件。
解题指南】 画出函数的简图，数形结合判断。
解析】选c.由函数在区间内单调递增可得其图象如图所示，,由图象可知选项c正确。
二、填空题。
2. （2013·陕西高考理科·ｔ15）已知a, b, m, n均为正数， 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为 .
解题指南】利用柯西不等式求解。
解析】,且仅当。
时取最小值 2.
答案】 2.
3. （2013·陕西高考文科·ｔ15）设a, b∈r, |a－b|>2, 则关于实数x的不等式的解集是 .
解题指南】利用绝对值不等式的基本知识表示数轴上某点到a，b的距离之和即可得解。
解析】函数的值域为：.
所以，不等式的解集为r。
答案】 r.
4.（2013·江西高考理科·ｔ15）在实数范围内，不等式的解集为。
解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解。
解析】由绝对值的意义，等价于，即。
即。答案】.
5. （2013·重庆高考理科·ｔ16）若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是。
解题指南】 利用绝对值不等式的性质进行求解。
解析】不等式无解，即。
因为，所以。
答案】.6. （2013·湖北高考理科·ｔ13）设x，y，z∈r，且满足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,则x+y+z=
解题指南】根据柯西不等式等号成立的条件，求出相应的x，y，z的值。
解析】由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32），当且仅当时取等号，此时y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=，所以，，，x+y+z=
答案】.7. （2013·湖南高考理科·ｔ10）已知a,b,c∈r,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 .
解题指南】本题是利用柯西不等式求最值
解析】因为，所以。
答案】 12.
三、解答题。
8.（2013·辽宁高考文科·ｔ24）与（2013·辽宁高考理科·ｔ24）相同。
已知函数。当时，求不等式的解集；
已知关于的不等式的解集为，求的值。
解题指南】利用绝对值的意义，去掉绝对值号，转化为整式不等式问题，是常用的化归方法。
解析】当时，
当时，由；当时，由，不成立；
当时，由；综上，
所以，当时，不等式的解集为。记。则。
由得，即。由已知不等式的解集为。
亦即的解集为。
所以解得24.
9.（2013·新课标ⅰ高考文科·ｔ24）与（2013·新课标ⅰ高考理科·ｔ24）相同。
已知函数，ⅰ）当时，求不等式的解集；
ⅱ）设，且当)时，,求的取值范围。
解析】当时，不等式化为。
设函数，则。
其图象如图所示，从图象可知，当且仅当时，.所以原不等式的解集是。
ⅱ）当时，.
不等式化为。
所以对都成立，故，即。
从而的取值范围为。
10. （2013·湖南高考理科·ｔ20）在平面直角坐标系xoy中，将从点m出发沿纵、横方向到达点n的任一路径称为m到n的一条“l路径”.如图所示的路径mm1m2m3n与路径mn1n都是m到n的“l路径”.
某地有三个新建的居民区，分别位于平面xoy内三点a(3,20),b(-10,0),c(14,0)处。现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点p处修建一个文化中心。
1)写出点p到居民区a的“l路径”长度最小值的表达式(不要求证明).
2)若以原点o为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“l路径”不能进入保护区，请确定点p的位置，使其到三个居民区的“l路径”长度值和最小。
解题指南】(1)本题必须根据题目中图的提示弄清“l路径”是由直线段构成，所以只能用绝对值来表示。
2)先写出点p到三个居民区的“l路径”,则点p到三个居民区的“l路径”长度值和的最小值为三个“l路径”的最小值之和，再利用绝对值知识去处理。
解析】设点p的坐标为(x,y),1)点p到居民区a的“l路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈r,y∈[0,+∞
2)由题意知，点p到三个居民区的“l路径”长度之和的最小值为点p分别到三个居民区的“l路径”长度最小值之和(记为d)的最小值。
当y≥1时，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,
当且仅当x=3时，不等式(*)中的等号成立，又因为|x+10|+|x-14|≥24. (
当且仅当x∈[-10,14]时，不等式(**中的等号成立。
所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时，等号成立，d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时，等号成立。故点p的坐标为(3,1)时，p到三个居民区的“l路径”长度之和最小，且最小值为45.
当0≤y≤1时，由于“l路径”不能进入保护区，所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|.
此时，d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.
由①知，d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立。
综上所述，在点p(3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“l路径”长度之和最小。
11.（2013·安徽高考理科·ｔ20）
设函数，证明：
1）对每个，存在唯一的，满足；
2）对任意，由（1）中构成的数列满足。
解题指南】 （1）利用导数证明在内单调递增，证明在内有零点；（2）利用（1）得的递减函数，联立与得的关系式，适当放缩证明。
解析】（1）对每个，当x>0时，内单调递增，由于，当，又，所以存在唯一的满足。
2）当x>0时，，故。
由内单调递增知，为单调递减数列，从而对任意，，对任意，由于
式减去式并移项，利用得。
因此，对任意，都有。
12.（2013·福建高考理科·ｔ21）设不等式的解集为a,且。
ⅰ）求的值 （ⅱ求函数的最小值。
解析】（ⅰ因为，且，所以，且。
解得，又因为，所以。
ⅱ）因为。当且仅当 (x+1)(x-2)≤0即-1≤x≤2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.
13.. 2013·新课标全国ⅱ高考文科·ｔ24）与（2013·新课标全国ⅱ高考理科·ｔ24）相同。
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
解题指南】(1)将两边平方，化简整理，借助不等式的性质，即得结论。
2) 证，也即证。
可分别证然后相加即得。
解析】（1）由得。
由题设得即。
所以，即当且仅当“”时等号成立。
2）因为。当且仅当“”时等号成立。
故，即。所以。
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