数学建模与数学实验课程总结与练习。
内容总结。第一章。
1.简述数学建模的一般步骤。
2.简述数学建模的分类方法。
3.简述数学模型与建模过程的特点。
第二章。4.抢渡长江模型的前3问。
5.补充的输油管道优化设计。
6.非线性方程（组）求近似根方法。
第三章。7.层次结构模型的构造。
8.成对比较矩阵的一致性分析。
第五章。9.曲线拟合法与最小二乘法。
10 分段插值法。
第六章。11 指数模型及logistic模型的求解与性质。
模型在相平面上求解及周期平均值。
13 差分方程（组）的平衡点及稳定性。
14 一阶差分方程求解。
15 养老保险模型。
16 金融公司支付**的流动。
17 lesllie模型。
18 泛函极值的欧拉方法。
19 最短路问题的邻接矩阵。
20 最优化问题的一般数学描述。
21 马尔科夫过程的平衡点。
22 零件的预防性更换。
练习集锦。1. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵p是成对比较矩阵，（1）确定矩阵p的未知元素。 （2）求p模最大特征值。
3）分析矩阵p的一致性是否可以接受（随机一致性指标ｒｉ取0.58）。
2. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵p是三阶成对比较矩阵，（1）将矩阵p元素补全。 （2）求p模最大特征值。
3）分析矩阵p的一致性是否可以接受。
3.考虑下表数据。
(1)用曲改直的思想确定经验公式形式。
2）用最小二乘法确定经验公式系数。
4.. 考虑微分方程。
1）在像平面上解此微分方程组。（2）计算时的周期平均值。（3）计算时，的周期平均值占总量的周期平均值的比例增加了多少？
5考虑种群增长模型
1）求种群量增长最快的时刻。（2）根据下表数据估计参数k值。
6. 假设容积为v的某湖泊已经受到某种物质污染，污染物在湖中分布均匀，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，并更新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是。
1） 试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型？
求出污染物浓度降为控制前的所需要的时间。
7. 假如保险公司请你帮他们设计一个险种：35岁起保，每月交费400元，60岁开始领取养老金，每月养老金标准为３６０元，请估算该保险费月利率为多少（保留到小数点后５位）？
8. 某校共有学生40000人，平时均在学生食堂就餐。该校共有3个学生食堂。
经过近一年的统计观测发现：a食堂分别有10%，25%的学生经常去b，c食堂就餐，b食堂经常分别有15%，25%的同学去a，c食堂就餐，c食堂分别有20%，20%的同学去a，b食堂就餐。
1）建立该问题的数学模型。（2）确定该校3个食堂的大致就餐人数。
9. 已知一阶差分方程。
（1）求该差分方程平衡点。 （2）求表达式。
10. 某种群至多只能活3岁，且按年观测的矩阵。
1）该种群稳定后年增长率为多少，稳定的年龄结构是什么？
2）在稳定的条件下，如果想只通过改变3龄组生育率来保持该种群数量上的稳定，请问该龄组生育率应该是多少？
11. 某人决定用10万元投资a、b、c、d四支**，已知购买时四支**股价分别为每股10元，15元，30元，95元，**交易要求购买的每支**数量以手为单位，至少为1手（1手=100股），四只**的预期收益率分别为30%,20%,50%和15%，如果希望持有**数量不超过80手，为了使得收益达到最大，请为他的投资建立合适的数学模型，并判断该数学模型的类型。不需要求出具体数值结果。
12. 小李夫妇曾经准备申请商业贷款20万元用于购房，每月还款880.66元，25年还清。
此时，房产商介绍的一家金融机构提出：贷款20万元，每半月还款1761.32元，22年还清，但贷款时，应先预付8000元，以后每次按半月还款。
小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少3年还款期意味减少还款近3万2千元，而且每月多跑一趟，也不算什么，这家机构的条件还是优惠的。
1）商业贷款的利率是多少？ （2）分析金融机构的条件是否优惠。
13. 一家油运公司每天具有5000吨的运力，由于油轮货舱容积的限制，公司每天只能运输50000的货物，每天可供运输的货物数量如下：
请建立该问题利润最大的优化模型（不需求。
14.沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂送水。水厂与江岸的位置见右图。
如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。
1） 对于最优方案，用表示。
2） 求最优取水口位置。
15. （1）给出下图从点1到点7的邻接矩阵。
2）建立该问题最短路的优化模型。
3）给出该问题的最优结果。
16. 考虑下图所描述的最短路问题。
1）写出从位置1到位置9的最短路的数学模型 。
（2）给出从位置1经过位置5到位置9的最短路。
（3）给出从位置1到位置9的最短路。
17 某零件寿命x（单位：月）的分布函数为。
零件损坏时更换和预防性更换费用分别为3万元和2万元。
1）请建立数学模型，讨论是否存在最佳预防性更换策略。
2）如果存在，求出最佳更换时间和单位时间最小损失(要求算出具体数值结果)。
如果不存在，请说明理由。
18. 某零件寿命x为服从均匀分布的随机变量，假设零件最大使用寿命为6个月。零件损坏时更换和预防性更换费用分别为5万元和1万元。
1）请建立数学模型，讨论是否存在最佳预防性更换策略。
2）如果存在，求出最佳更换时间和单位时间最小损失(要求算出具体数值结果)。
如果不存在，请说明理由。
19. .已知泛函。
给出该泛函极值的必要条件。
20. 在抢渡长江模型，如果假设流速沿离岸边距离的分布为。
试用变分法推出人的游泳速度u（常数）、流速、起游偏角及游泳偏角所满足的欧拉方程。
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